题目内容

19．求证：函数$f（x）=-\frac{1}{x}-1$在区间（0，+∞）上是增函数．

分析 根据题意，设x1＞x2＞0，用定义法作差可得f（x1）-f（x2）=（-$\frac{1}{{x}_{1}}$-1）-（-$\frac{1}{{x}_{2}}$-1）=$\frac{1}{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{x}_{1}}$=$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，结合x1＞x2＞0，分析可得x1-x2＞0且x1•x2＞0，分析可得f（x1）-f（x2）的符号，由函数单调性的定义分析可得证明．

解答 证明：根据题意，设x1＞x2＞0，
f（x1）-f（x2）=（-$\frac{1}{{x}_{1}}$-1）-（-$\frac{1}{{x}_{2}}$-1）=$\frac{1}{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{x}_{1}}$=$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
又由x1＞x2＞0，则x1-x2＞0且x1•x2＞0，
则有f（x1）-f（x2）=$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，
即f（x1）＞f（x2），
故函数$f（x）=-\frac{1}{x}-1$在区间（0，+∞）上是增函数．

点评 本题考查函数的单调性的证明，要掌握定义法的证明过程并正确化简．

练习册系列答案
相关题目
11．关于函数f（x）=4sin（2x+$\frac{π}{3}$）（x∈R）有下列命题，其中正确的是②．
①y=f（x）的表达式可改写为y=4cos（2x+$\frac{π}{3}$）（x∈R）
②y=f（x）的图象关于点（-$\frac{π}{6}$，0）对称；
③y=f（x）的最小正周期为2π；
④y=f（x）的图象的一条对称轴为x=-$\frac{π}{6}$．
10．焦距是10，虚轴长是8的双曲线的标准方程为$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$或$\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{16}=1$．
7．已知a，b∈R+，且直线ax+by-6=0与直线2x+（b-3）y+5=0互相平行，则2a+3b的最小值为（　　）
A．12B．25C．$13+2\sqrt{6}$D．$12+4\sqrt{3}$
14．化简：
（1）$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（α+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$cos（α+$\frac{π}{6}$）；
（2）$\frac{\sqrt{2}cosα-2sin（45°-α）}{2sin（60°+α）-\sqrt{3}cosα}$．
4．三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别为$\sqrt{3}，\sqrt{2}，1$，则该三棱锥的外接球的表面积（　　）
A．24πB．18πC．10πD．6π
11．若函数f（x）=lnx+ax2-2在区间$（{\frac{1}{2}，2}）$内存在单调递增区间，则实数α的取值范围是（　　）
A．（-∞，-2]B．（-2，+∞）C．（-2，-$\frac{1}{8}$）D．$[-\frac{1}{8}，+∞）$
8．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1表面上运动，且$PA=r（{0＜r＜\sqrt{3}}）$．记点P的轨迹的长度为f（r）．求关于r的方程f（r）=k的解的个数的所有可能的值．
9．已知函数f（x）=|x-1|+|x-2|．
（1）求不等式f（x）≥x的解集；
（2）当$\frac{1}{2}≤x≤\frac{5}{2}$时，求证：|a+b|+|a-b|≥|a|f（x）（a≠0，a，b∈R）．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网