Question

20．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF=90°，AD=2，AB=AF=2FE=1，点P是棱DF的中点．
（1）求证：AD⊥BF；
（2）求点B到面PCD的距离．

Answer 1

分析 （1）由已知推导出AD⊥AB，利用面面垂直性质定理能证明AD⊥BF．
（2）取AD的中点G，连结PG，由V_P-ACD=V_A-PCD，能求出点B到面PCD的距离．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴AD⊥AB，
∵平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，
AD?平面ABCD，又BF?平面ABEF，
∴AD⊥BF．
（2）取AD的中点G，连结PG，
∵∠BAF=90°，∴AF⊥AB，
又平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，AF?平面ABEF，
∴AF⊥平面ABCD，
∵P、G分别为DF、AD的中点，
∴PG∥AF，∴PG⊥平面ABCD，
∵V_P-ACD=V_A-PCD，
∴$\frac{1}{3}{S}_{△ACD}•PG=\frac{1}{3}{S}_{△PCD}•{d}_{A-PCD}$，
∴d_A-PCD=$\frac{{S}_{△ACD}•PG}{{S}_{△PCD}}$=$\frac{\frac{1}{2}×2×1×\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{5}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵AB∥面PCD，故d_B-PCD=d_A-PCD=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴点B到面PCD的距离为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等体积法的合理运用．