Question

6．在△ABC中，若$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{BA}$+2$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$，则$\frac{sinA}{sinC}$的值为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据题意，利用平面向量的数量积，结合余弦定理和正弦定理，即可求出$\frac{sinA}{sinC}$的值．

解答 解：在△ABC中，设三条边分别为a、b，c，三角分别为A、B、C，
由$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{BA}$+2$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$，
得ac•cosB+2bc•cosA=ba•cosC，
由余弦定理得：
$\frac{1}{2}$（a²+c²-b²）+（b²+c²-a²）=$\frac{1}{2}$（b²+a²-c²），
化简得$\frac{{a}^{2}}{{c}^{2}}$=2，
∴$\frac{a}{c}$=$\sqrt{2}$，
由正弦定理得$\frac{sinA}{sinC}$=$\frac{a}{c}$=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积以及余弦定理和正弦定理的应用问题，是综合性题目．