题目内容
设数列{an}，a1=
，若以a1，a2，…，an为系数的二次方程：an-1x2-anx+1=0（n∈N*且n≥2）都有根α、β满足3α-αβ+3β=1．（1）求证：{an-
}为等比数列；（2）求an；
（3）求{an}的前n项和Sn．
【答案】分析：（1）根据韦达定理分别求得α+β和αβ代入3α-αβ+3β=1，进而求得an=
an-1+
，进而可推知
为定值，原式得证．（2）先根据a1求得数列{an-
}的首项，再由（1）求得的公比，根据等比数列的通项公式进而可得an
（3）再根据等比数列的求和公式，求得Sn．
解答：（1）证明：∵α+β=
，αβ=
代入3α-αβ+3β=1得an=
an-1+
，
∴
=
=
为定值．
∴数列{an-
}是等比数列．
（2）解：∵a1-
=
-
=
，
∴an-
=
×（
）n-1=（
）n．
∴an=（
）n+
．
（3）解：Sn=（
+
++
）+
=
+
=
-
．
点评：本题主要考查了等比数列的性质，属基础题．
an-1+
，进而可推知
为定值，原式得证．（2）先根据a1求得数列{an-
}的首项，再由（1）求得的公比，根据等比数列的通项公式进而可得an（3）再根据等比数列的求和公式，求得Sn．
解答：（1）证明：∵α+β=
，αβ=
代入3α-αβ+3β=1得an=
an-1+
，∴
=
=
为定值．∴数列{an-
}是等比数列．（2）解：∵a1-
=
-
=
，∴an-
=
×（
）n-1=（
）n．∴an=（
）n+
．（3）解：Sn=（
+
++
）+
=
+
=
-
．点评：本题主要考查了等比数列的性质，属基础题．
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