题目内容

设数列{an}满足a1=1，a2=4，a3=9，an=an-1+an-2-an-3（n=4，5，…），则a2013=
 
．
分析：在数列递推式an=an-1+an-2-an-3中，以n+1替换n，得到an+1=an+an-1-an-2，作和后可得数列{an}的奇数项和偶数项均构成等差数列，由已知求出奇数项的公差，代入等差数列的通项公式求得a2013的值．
解答：解：由an=an-1+an-2-an-3，得
an+1=an+an-1-an-2，
两式作和得：an+1=2an-1-an-3．
即an+1+an-3=2an-1（n=4，5，…）．
∴数列{an}的奇数项和偶数项均构成等差数列，
∵a1=1，a3=9，∴奇数项公差为8．
则a2013=a1+8（1007-1）=1+8×1006=8049．
故答案为：8049．
点评：本题主要考查由递推公式推导数列的通项公式，其中渗透了周期数列这一知识点，属中档题．
练习册系列答案
相关题目
设数列{an}满足a1=1，且对任意的n∈N*，点Pn（n，an）都有
.
PnPn+1
=(1，2)，则数列{an}的通项公式为（　　）
（2013•日照一模）若数列{bn}：对于n∈N*，都有bn+2-bn=d（常数），则称数列{bn}是公差为d的准等差数列．如：若cn=
4n-1，当n为奇数时
4n+9，当n为偶数时.
则{cn}是公差为8的准等差数列．
（I）设数列{an}满足：a1=a，对于n∈N*，都有an+an+1=2n．求证：{an}为准等差数列，并求其通项公式：
（Ⅱ）设（I）中的数列{an}的前n项和为Sn，试研究：是否存在实数a，使得数列Sn有连续的两项都等于50．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
（2013•日照一模）若数列{bn}：对于n∈N*，都有bn+2-bn=d（常数），则称数列{bn}是公差为d的准等差数列．如数列cn：若cn=
4n-1，当n为奇数时
4n+9，当n为偶数时
，则数列{cn}是公差为8的准等差数列．设数列{an}满足：a1=a，对于n∈N*，都有an+an+1=2n．
（Ⅰ）求证：{an}为准等差数列；
（Ⅱ）求证：{an}的通项公式及前20项和S20．
设数列{an}满足a1=1，a2+a4=6，且对任意n∈N*，函数f（x）=（an-an+1+an+2）x+an+1?cosx-an+2sinx满足f′(
π
2
)=0若cn=an+
1
2an
，则数列{cn}的前n项和Sn为（　　）
A、
n2+n
2
-
1
2n
B、
n2+n+4
2
-
1
2n-1
C、
n2+n+2
2
-
1
2n
D、
n2+n+4
2
-
1
2n
设数列{an}满足：a1=2，an+1=1-
1
an
，令An=a1a2…an，则A2013=（　　）

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