Question

14．已知函数f（x）=cos²x-sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx．
（I）求f（x）的最小正周期．
（II）求f（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （I）利用二倍角，辅助角公式化简，即可求f（x）的最小正周期．
（II）利用f（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]上，求出内层函数的范围，结合三角函数的性质可得最大值和最小值．

解答 解：函数f（x）=cos²x-sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx．
化简可得f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）
（I）∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
（II）x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]上，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$-\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴当2x+$\frac{π}{6}$=$-\frac{π}{3}$时，函数f（x）取得最小值为$-\frac{\sqrt{3}}{2}×2=-\sqrt{3}$．
∴当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最大值为1×2=2．
故得f（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]上的最大值为2，最小值为$-\sqrt{3}$．

点评 本题考查三角函数的性质的运用和化简能力以及计算能力．