Question

4．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，M是AD上一点．
（1）求证：AB⊥PM；
（2）若N是PB的中点，且AN∥平面PCM，求$\frac{AM}{AD}$的值．

Answer 1

分析 （1）由PA⊥平面ABCD，得PA⊥AB，再由ABCD为矩形，得AB⊥AD，利用线面垂直的判定可得AB⊥平面PAD，从而得到AB⊥PM；
（2）取PC中点E，连接NE，ME，可得NE∥BC，NE∥AM，故N，E，A，M四点共面．然后证明四边形ANEM是平行四边形，可得AM=NE=$\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AD$，即$\frac{AM}{AD}$=$\frac{1}{2}$．

解答 （1）证明：∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴PA⊥AB，
∵ABCD为矩形，∴AB⊥AD，
又PA∩AD=A，PA，AD?平面PAD，
∴AB⊥平面PAD，
而PM?平面PAD，
∴AB⊥PM；
（2）解：如图，取PC中点E，连接NE，ME，
∵N是PB中点，∴NE∥BC，
又∵BC∥AM，∴NE∥AM，
故N，E，A，M四点共面．
∵AN∥平面PCM，AN?平面ANEM，平面ANEM∩平面PCM=EM，
∴AN∥ME．
故四边形ANEM是平行四边形，
∴AM=NE=$\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AD$，
∴$\frac{AM}{AD}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查直线与平面垂直、直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．