Question

已知，其中是自然常数，

   （1）若为的极值点, 求的单调区间和最小值；        

   （2）是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由；

   （3），在（1）的条件下，求证：．

Answer 1

（1）， 

若则_；若，则

∴∴的最小值 ；

（2）假设存在实数，

使（）有最小值3，

 

①当时，在上单调递减，，（舍去），所以，此时无最小值．

②时，在上单调递减，在上单调递增

，，满足条件．

③当时，在上单调递减，

，（舍去），所以，此时无最小值．

综上，存在实数，使得当时有最小值3．

       （3）的极小值为1，即在上的最小值为1，

       ∴ ，……5分

       令，，

       当时，，在上单调递增 

       ∴ 

       ∴在（1）的条件下，