Question

棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为DD₁的中点，O₁、O₂、O₃分别为平面A₁B₁C₁D₁、平面BB₁C₁C、平面ABCD的中心．
（1）求PO₂的长．
（2）求证：B₁O₃⊥PA；
（3）求异面直线PO₃与O₁O₂所成的角．

Answer 1

分析：以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，写出各点的坐标．
（1）由模的公式得PO₂的长．
（2）分别写出两条直线所在的向量，再根据

B1O3

• 

PA

=(-

1

2

)×1+(-

1

2

)×0+(-1)×(-

1

2

)=0可得B₁O₃⊥PA．
（3）写出两条直线所在的向量，再利用向量的运算关系求出两个向量的夹角，进而转化为两条直线的夹角．

解答：解：以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则…（2分）
则有B₁（1，1，1，），O₃（

1

2

，

1

2

，0），P（0，0，

1

2

），A（1，0，0），O₁（

1

2

，

1

2

，1），O₂（

1

2

，1，

1

2

），
于是

B1O3

=(-

1

2

，-

1

2

，-1)，

PA

=(1，0，-

1

2

)…（4分）
（1）由模的公式得：|

PO2

|=

( 1 2 )2+1

=

5

2

，
即PO₂的长为

5

2

…（6分）
（2）证明：因为

B1O3

• 

PA

=(-

1

2

)×1+(-

1

2

)×0+(-1)×(-

1

2

)=0，
所以

B1O3

⊥

PA

，即B₁O₃⊥PA．
（3）因为O₁（

1

2

，

1

2

，1），O₂（

1

2

，1，

1

2

），
所以

O1O2

=(0，

1

2

，-

1

2

)，

PO3

=(

1

2

，

1

2

，-

1

2

)，…（9分）
所以cos＜

O1O2

，

PO3

＞=

O1O2 • PO3

| O1O2| | PO3 |

=

6

3

…（11分）
∴异面直线PO3与O1O3所成角的大小arccos

6

3

．…（12分）

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征进而距离空间直角坐标系，再利用向量之间的运算关系求线段的长度，以及证明线线垂直与求异面直线的夹角等问题．