Question

（本题满分16分）设是定义在上的单调可导函数.已知对于任意正数，都有，且.

（Ⅰ）求，并求的值；

（Ⅱ）令，证明：数列是等差数列；

（Ⅲ）设是曲线在点处的切线的斜率（），数列的前项和为，求证：．

Answer 1

解：（Ⅰ）取，则；再取，则

是定义在上的单调函数，

解之得：，或－1（舍去）. ……5分

（Ⅱ）取，则，

再取，则

是定义在上的单调函数，即

解之得：，或（舍去）……9分

又（常数）

所以，数列是等差数列. ……10分

（Ⅲ）由（2）得则

所以；……13分

又当时，，

则，

故.     ……16分