Question

设正项数列{a_n}的前n项的和是S_n，且对n∈N^*，都有2S_n=a_n²+a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）对任意给定的不小于2的正整数n，数列{b_k}满足：b₁=n，

bk+1

bk

=

an-k

k+1

（k=1，2，…，n-1），求b₁+b₂+…+b_n．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）根据数列的递推关系利用构造方程组，利用作差法即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）根据累积法求出数列{b_k}的通项公式，即可求出数列的前n项和．

解答： 解：（1）∵2S_n=a_n²+a_n．
∴当n≥2时，2S_n-1=a_n-1²+a_n-1．
两式相减得2S_n-2S_n-1=a_n²+a_n-a_n-1²-a_n-1．
即2a_n=a_n²+a_n-a_n-1²-a_n-1．
即a_n+a_n-1=a_n²-a_n-1²=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）．
∵正项数列{a_n}，
∴a_n-a_n-1=1，
即数列{a_n}是公差d=1的等差数列，
当n=1时，2S₁=a₁²+a₁=2a₁，
即a₁²=a₁，
解得a₁=1，
故a_n=1+n-1=n．

（2）∵a_n=n，∴

bk+1

bk

=

an-k

k+1

=

n-k

k+1

，
则b_k=

bk

bk-1

•

bk-1

bk-2

…

b2

b1

•b1=

(n-k+1)(n-k+2)…(n-1)

k•(k-1)(k-2)…2•1

×n=

C

k n

，
则b₁+b₂+…+b_n=

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n n

=2ⁿ-1．

点评：本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，根据数列的递推关系，利用作差法和累积法是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．