Question

已知函数f（x）=

-x3+x2+bx+c，(x＜1) alnx，(x≥1)

的图象过坐标原点O，且在点（-1，f（-1））处的切线的斜率是-5．
（1）求实数b，c的值；
（2）若函数y=f（x）图象上存在两点P，Q，使得对任意给定的正实数a都满足△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上，求点P的横坐标的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）求导f′（x）=-3x²+2x+b，从而可得f′（-1）=-3-2+b=-5，f（0）=0，从而解得；
（2）设P（x₁，f（x₁）），Q（-x₁，f（-x₁）），从而可得

f(x1)•f(-x1)

x1•(-x1)

=-1，再分类讨论即可．

解答： 解：（1）当x＜1时，f（x）=-x³+x²+bx+c，
则f′（x）=-3x²+2x+b，
则可得，f′（-1）=-3-2+b=-5，
解得，b=0；
又f（0）=0知，c=0；
故b=c=0；
（2）设P（x₁，f（x₁）），∵PQ中点在y轴上，∴Q（-x₁，f（-x₁）），
∵OP⊥OQ，∴

f(x1)•f(-x1)

x1•(-x1)

=-1，①；
（i）当x₁=1时，f（x₁）=0；当x₁=-1时，f（-x₁）=0；故①不成立；
（ii）当-1＜x₁＜1时，f（x₁）=-

x

3 1

+

x

2 1

，f（-x₁）=

x

3 1

+

x

2 1

；
代入①得，（-

x

2 1

+x₁）（

x

2 1

+x₁）=1；
故

x

4 1

-

x

2 1

+1=0，故无解；
（iii）当x₁＞1时，f（x₁）=alnx₁，f（-x₁）=

x

3 1

+

x

2 1

；
代入①可得，

1

a

=（x₁+1）lnx₁，②；
设g（x₁）=（x₁+1）lnx₁，（x₁＞1）；
则g′（x₁）=lnx₁+

x1+1

x1

＞0，则g（x₁）是增函数，
由g（1）=0，
∴g（x₁）的值域是（0，+∞），
∴对任意给定的正实数a，②恒有解，满足条件；
（iv）由P，Q横坐标的对称性同理可得，
当x₁＜-1时，f（x₁）=-

x

3 1

+

x

2 1

，f（-x₁）=aln（-x₁），
代入①得，

1

a

=（-x₁+1）ln（-x₁），③
设h（x₁）=（-x₁+1）ln（-x₁），（x₁＜-1），
∴h′（x₁）=-ln（-x₁）-

x1-1

x1

＜0，
则h（x₁）是减函数，
∵h（-1）=0，
∴h（x₁）的值域是（0，+∞），
∴对任意给定的正实数a，③恒有解，满足条件；
综上所述，满足条件的点P的横坐标的取值范围为（-∞，-1）∪（1，+∞）．

点评：本题考查了导数的几何意义的应用及导数的综合应用，属于中档题．