Question

【题目】已知函数.

(Ⅰ)判断函数在区间上的单调性；

(Ⅱ)若函数在区间上满足恒成立，求实数a的最小值.

Answer 1

【答案】(1) 单调递减.（2）1

【解析】试题分析：（1）先求导数得，再研究，得在区间上恒小于零，可得在区间上恒小于零，即得函数单调性（2）由不等式恒成立得,再利用洛必达法则求,即得 ，可得实数a的最小值.

试题解析：解：（Ⅰ）当时，

令， ，显然当时，

，即函数在区间的单调递减，且，

从而函数在区间上恒小于零

所以在区间上恒小于零，函数在区间上单调递减.

（Ⅱ）由于，不等式恒成立，即恒成立

令， ，且

当时，在区间上，即函数单调递减，

所以，即恒成立

当时， 在区间上存在唯一解，

当时， ，故在区间上单调递增，且，

从而在区间上大于零，这与恒成立相矛盾 当时，在区间上，即函数单调递增，且，

得恒成立，这与恒成立相矛盾

故实数a的最小值为1.