题目内容
【题目】如图，四边形
是直角梯形， 
，又
，直线
与直线
所成的角为
．
（1）求证： 
；
（2）求二面角
的余弦值．
【答案】(1)见解析.（2）
.
【解析】试题分析：方法1：（1）∵
，∴
平面ABC，∴
．5分
（2）取BC的中点N，连MN．∵
，∴
，∴
平面ABC．作
，交AC的延长线于H，连结MH．由三垂线定理得
，∴
为二面角
的平面角．∵直线AM与直线PC所成的角为
，∴在
中， 
．
在
中， 
．
在
中， 
．
在
中， 
．
在
中，∵
，∴
．
故二面角
的余弦值为
．13分
方法2：（1）∵
，∴
平面ABC，∴
．5分
（2）在平面ABC内，过C作BC的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示．设
，则
． 
． 5分
∵
，
且
，∴
，得
，∴
． 8分
设平面MAC的一个法向量为
，则由
得
得
∴
． 10分
平面ABC的一个法向量为
． 
12分
显然，二面角
为锐二面角，∴二面角
的余弦值为
．13分
练习册系列答案
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【题目】某港口有一个泊位，现统计了某月100艘轮船在该泊位停靠的时间（单位：小时），如果停靠时间不足半小时按半小时计时，超过半小时不足1小时按1小时计时，以此类推，统计结果如表：
停靠时间 | 2.5 | 3 | 3.5 | 4 | 4.5 | 5 | 5.5 | 6 |
轮船数量 | 12 | 12 | 17 | 20 | 15 | 13 | 8 | 3 |
（Ⅰ）设该月100艘轮船在该泊位的平均停靠时间为
小时，求
的值；
（Ⅱ）假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位停靠
小时，且在一昼夜的时间段中随机到达，求这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率．