Question

平面α∥平面β，A、CÎ α，B、DÎ β，M、N分别为AB和CD的中点，求证MN∥β．

Answer 1

答案：略
解析：

条件中没有明确AB、CD是否共面，故应分两种情况讨论．当AB、CD不共面时，解决问题的方法是添加分别与AB、CD共面的第三条线(即空间四边形ABDC的对角线)，将空间问题转化为平面问题是解决立体几何问题的重要策略． 证明：(1)若AB与CD共面，则由MN∥BD∥AC，知MN∥β． (2)若AB与CD异面(如图所示)，连AD，取AD中点F，连NF、MF．在△ABD中，MF是中位线， ∴MF∥BD，∴MF∥β，同理FN∥β． ∴面MNF∥β．又MN面MNF，∴MN∥β． 由(1)、(2)知，MN∥β．