题目内容

如图，已知抛物线C：y2=4x，过点P的直线l与抛物线C交点A、B两点，且点P为弦AB的中点．
（ I）求直线l的方程；
（ II）若过点P斜率为-2的直线m与抛物线C交点A1、B1两点，求证：PA•PB=PA1•PB1；
（ III）过线段AB上任意一点P1（不含端点A、B）分别做斜率为k1、k2（k1≠k2）的直线l1，l2，若l1交抛物线C于A1、B1两点，l2交抛物线C于A2，B2两点，且：P1A1•P1B1=P1A2•P1B2，试求k1+k2的值．

【答案】分析：（Ⅰ）利用“点差法”即可得出直线的斜率，再利用点斜式即可得出；
（Ⅱ）把直线参数方程代入抛物线方程，利用参数的几何意义即可证明；
（Ⅲ）把直线参数方程代入抛物线方程，利用参数的几何意义即可求出．
解答：解：（Ⅰ）设交点A（x1，y1），B（x2，y2），则，，
两式相减得，∴，∴kl×2=4，解得kl=2．
∴直线l的方程为y-1=，化为2x-y-4=0．
（Ⅱ）证明：①直线l的参数方程为，代入抛物线方程得，
化为，由参数的几何意义可得PA•PB=．
②由直线m的斜率为-2且过点P，可得参数方程为，代入抛物线方程得，
化为，由参数的几何意义可得PA1•PB1=．
因此PA•PB=PA1•PB1．
（Ⅲ）设点P1（u，v），直线l1、l2的倾斜角分别为α、β，则k1=tanα，k2=tanβ，且．
则直线l1的参数方程为，代入抛物线方程得（v+tsinα）2=4（u+tcosα），
化为t2sin2α+（2vsinα-4cosα）t+v2-4u=0，
∵△＞0，∴t1t2==P1A1•P1B1
同理=P1A2•P1B2
∵P1A1•P1B1=P1A2•P1B2
∴sin2α=sin2β，∴sinα=sinβ，而α≠β，∴α=π-β．
∴k1+k2的值=tanα+tanβ=-tanβ+tanβ=0．
点评：熟练掌握“点差法”直线的点斜式、直线与抛物线相交问题的解题模式、根与系数的关系、直线参数的几何意义是解题的关键．
练习册系列答案
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OA
•
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TA
•
TB
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