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精英家教网如图,已知抛物线C:y2=4x焦点为F,直线l经过点F且与抛物线C相交于A、B两点.
(Ⅰ)若线段AB的中点在直线y=2上,求直线l的方程;
(Ⅱ)若|AB|=20,求直线l的方程.
分析:(I)利用“点差法”、中点坐标公式、斜率计算公式即可得出;
(II)设直线l的方程为y=k(x-1),与抛物线方程联立化为k2x2-(4+2k2)x+k2=0,得到根与系数的关系,利用弦长公式|AB|=x1+x2+p即可得到k.
解答:解:(I)设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点M(x0,2),则x0=
x1+x2
2
2=
y1+y2
2
kl=
y1-y2
x1-x2

y
2
1
=4x1
y
2
2
=4x2
,可得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),
∴4kl=4,解得kl=1.
由y2=4x得焦点F(1,0).∴直线l的方程为:y=x-1.
(II)设直线l的方程为y=k(x-1),联立
y=k(x-1)
y2=4x
化为k2x2-(4+2k2)x+k2=0,
x1+x2=
4+2k2
k2

∵|AB|=x1+x2+p=
4+2k2
k2
+2=10
,解得k=±
6
3

∴直线l的方程为y=±
6
3
(x-1)
点评:本题考查了“点差法”、中点坐标公式、斜率计算公式、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式|AB|=x1+x2+p等基础知识与基本技能方法,属于难题.
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