Question

如图，直角坐标系中，一直角三角形，，B、D在轴上且关于原点对称，在边上，BD=3DC，△ABC的周长为12．若一双曲线以B、C为焦点，且经过A、D两点．

⑴ 求双曲线的方程；
⑵ 若一过点（为非零常数）的直线与双曲线相交于不同于双曲线顶点的两点、，且，问在轴上是否存在定点，使？若存在，求出所有这样定点的坐标；若不存在，请说明理由

Answer 1

(1)  (2)在轴上存在定点，使．

试题分析：(1) 设双曲线的方程为，则．
由，得，即．
∴      3分
解之得，∴．
∴双曲线的方程为． 5分
(2) 设在轴上存在定点，使．
设直线的方程为，．
由，得．
即         ①  6分
∵，，
∴．
即． ②  8分
把①代入②，得  ③  9分
把代入并整理得
其中且，即且．
．   10分
代入③，得，化简得 ．当时，上式恒成立．
因此，在轴上存在定点，使．  13分
点评：难题，曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题（1）求双曲线方程时，应用了双曲线的定义及其几何性质，难度不大，较为典型。（2）则在应用韦达定理的基础上，通过平面向量的坐标运算，达到证明目的。