Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=e^x．
（1）求函数y=f（x）-x的单调区间；
（2）证明：函数y=f（x）和y=g（x）在公共定义域内，g（x）-f（x）＞2．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：计算题,证明题,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：（1）先化简y=f（x）-x=lnx-x，再求其定义域及导数y′=

1

x

-1=

1-x

x

；从而确定函数的单调区间；
（2）函数y=f（x）和y=g（x）的公共定义域为（0，+∞）；再令F（x）=g（x）-f（x）=e^x-lnx；求导可得F′（x）=e^x-

1

x

在（0，+∞）上是增函数，从而可得在（

1

2

，1）上存在m，使e^m=

1

m

，故m=

1

em

=e^-m；从而可得F（x）≥F（m）=e^m-lnm=

1

m

-lne^-m=

1

m

+m；从而证明．

解答： 解：（1）y=f（x）-x=lnx-x的定义域为（0，+∞）；
y′=

1

x

-1=

1-x

x

；
故当x∈（0，1）时，y′＞0；
当x∈（1，+∞）时，y′＜0；
故函数y=f（x）-x的单调增区间为（0，1）；
单调减区间为（1，+∞）．
（2）证明：函数y=f（x）和y=g（x）的公共定义域为（0，+∞）；
令F（x）=g（x）-f（x）=e^x-lnx；
则F′（x）=e^x-

1

x

在（0，+∞）上是增函数，
且F′（

1

2

）=

e

-2＜0；
F′（1）=e-1＞0；
故在（

1

2

，1）上存在m，使e^m=

1

m

，故m=

1

em

=e^-m；
则F（x）=e^x-lnx在（0，m）上是减函数，在（m，+∞）上是增函数，
故F（x）≥F（m）=e^m-lnm
=

1

m

-lne^-m=

1

m

+m；
∵m∈（

1

2

，1），
∴

1

m

+m＞2；
故g（x）-f（x）＞2．

点评：本题考查了导数的综合应用，同时考查了基本不等式的应用，属于难题．