Question

球O为边长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的内切球，P为球O的球面上动点，M为B₁C₁中点，DP⊥BM，则点P的轨迹周长为（　　）

• A、

  3

  3

  π
• B、

  2 3

  3

  π
• C、

  2 5

  5

  π
• D、

  4 5

  5

  π

Answer 1

考点：球内接多面体

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：取BB₁的中点N，连接CN，确定点P的轨迹为过D，C，N的平面与内切球的交线，求出截面圆的半径，即可得出结论．

解答： 解：由题意，取BB₁的中点N，连接CN，则CN⊥BM，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，∴CN为DP在平面B₁C₁CB中的射影，
∴点P的轨迹为过D，C，N的平面与内切球的交线，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的边长为2，
∴O到过D，C，N的平面的距离为

5

5

，
∴截面圆的半径为

1- 1 5

=

2 5

5

，
∴点P的轨迹周长为

4 5

5

π．
故选：D．

点评：本题考查截面与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，确定点P的轨迹是关键．