Question

【题目】已知.

（1）当时，判断在的单调性，并用定义证明；

（2）若对恒成立，求的取值范围；

（3）讨论的零点的个数.

Answer 1

【答案】（1）减函数,证明详见解析; （2）;（3）详见解析

【解析】

试题（1）当时，利用函数单调性的定义即可判断在的单调性，并用定义证明．

（2）利用参数分离法将不等式恒成立，转化为，求出的最大值即可；

（3）将函数零点个数转化为方程解的个数，再转化为直线与的图象的交点个数，运用数形结合思想求解.

试题解析：（1）当，且时，为减函数.

证明：设，则 ,又，所以，，所以,所以，所以，故当，且时，为减函数.

（2）由得，变形为,即,而，当，即时，,所以.

（3）由可得，变形为，令,作出的图象及直线，由图象可得：当或时，有个零点.当或或时，有个零点；当或时，有个零点.

点晴：本题考查函数与单调性.确定零点的个数问题，可利用数形结合的办法判断交点个数，方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．注意利用数形结合的数学思想方法.