Question

【题目】已知函数f（x）= ，曲线y=f（x）在点x=e2处的切线与直线x﹣2y+e=0平行．
（1）若函数g（x）= f（x）﹣ax在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；
（2）若函数F（x）=f（x）﹣ 无零点，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 ，得 ，解得m=2，

故 ，则 ，函数g（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），

而 ，又函数g（x）在（1，+∞）上是减函数，

∴ 在（1，+∞）上恒成立，

∴当x∈（1，+∞）时， 的最大值．

而 ，即右边的最大值为 ，

∴ ，故实数a的最小值 ；

（2）解：由题可得 ，且定义域为（0，1）∪（1，+∞），

要使函数F（x）无零点，即 在（0，1）∪（1，+∞）内无解，

亦即 在（0，1）∪（1，+∞）内无解．

构造函数 ，则 ，

1）当k≤0时，h'（x）＜0在（0，1）∪（1，+∞）内恒成立，

∴函数h（x）在（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内也单调递减．

又h（1）=0，∴当x∈（0，1）时，h（x）＞0，即函数h（x）在（0，1）内无零点，

同理，当x∈（1，+∞）时，h（x）＜0，即函数h（x）在（1，+∞）内无零点，

故k≤0满足条件；

2）当k＞0时， ．

①若0＜k＜2，则函数h（x）在（0，1）内单调递减，在 内也单调递减，在 内单调递增．

又h（1）=0，∴h（x）在（0，1）内无零点；

又 ，而 ，故在 内有一个零点，∴0＜k＜2不满足条件；

②若k=2，则函数h（x）在（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内单调递增．

又h（1）=0，∴当x∈（0，1）∪（1，+∞）时，h（x）＞0恒成立，故无零点．∴k=2满足条件；

③若k＞2，则函数h（x）在 内单调递减，在 内单调递增，在（1，+∞）内也单调递增．

又h（1）=0，∴在 及（1，+∞）内均无零点．

易知 ，又h（e﹣k）=k×（﹣k）﹣2+2ek=2ek﹣k2﹣2=（k），

则'（k）=2（ek﹣k）＞0，则（k）在k＞2为增函数，∴（k）＞（2）=2e2﹣6＞0．

故函数h（x）在 内有一零点，k＞2不满足．

综上：k≤0或k=2

【解析】（1）求出原函数的导函数，得到函数在x=e2处的导数，由导数值等于 求得m值，得到 ，进一步求得 ，利用函数g（x）在（1，+∞）上是减函数，可得 在（1，+∞）上恒成立，分离参数a，得 ．利用配方法求得右边的最大值可得实数a的最小值；（2）由题可得 ，且定义域为（0，1）∪（1，+∞），若函数F（x）无零点，即 在定义域内无解，构造函数 ，得 ，分当k≤0和k＞0分类分析得答案．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．