题目内容

设f（x）=（x2+x-1）（2x+1）2，试求f（x）的展开式中：
（Ⅰ）所有项的系数和；
（Ⅱ）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和．
分析：（I）令f（x）中的x=1得到展开式中的所有项的系数和．
（II）再令f（x）中的x=-1，将得到的值与所有项的系数和相加除以2得到所有偶次项的系数和；将得到的值与所有项的系数和相减除以2得到所有奇次项的系数和．
解答：解：（Ⅰ）设f（x）=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4
令x=1得f（1）=32=9=a0+a1+a2+a3+a4 ①
∴所有项的系数和9；
（Ⅱ）令x=-1得f（-1）=-1=a0-a1+a2-a3+a4  ②
①+②
2
得所有偶次项的系数和=4；
①-②
2
得所有奇次项的系数和=5．
点评：求二项展开式的各项系数和问题，一般通过观察，给二项式中的x赋值求得．
练习册系列答案
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设f（x）=
1+x2
1-x2
，则f（2）+f（3）+…+f（2011）+f（
1
2
）+f（
1
3
）+…+f（
1
2011
）=
 
．
下列叙述
①对于函数f（x）=-x2+1，当x1≠x2时，都有
f(x1)+f(x2)
2
＜f（
x1+x2
2
）；
②设f（x）=
1+x2
1-x2
则f（2）+f（3）+…+f（2012）+f（
1
2
）+f（
1
3
）+…+f（
1
2012
）=0；
③定义域是R的函数y=f（x）在[a，b）上递增，且在[b，c]上也递增，则f（x）在[a，c]上递增；
④设满足3x=5y的点P为（x，y），则点P（x，y）满足xy≥0．
其中正确的所有番号是：
①②④
①②④
．
设f（x）是（x2+
1
2x
）6展开式的中间项，若f（x）≤mx在区间[
2
2
，
2
]上恒成立，则实数m的取值范围是
[5，+∞）
[5，+∞）
．
对于每个实数x，设f（x）取y=x2-3x+2，y=x-1，y=5-x三个函数中的最小值，则f（x）的最大值是（　　）
设f（x）=
2x-2-x
2
，g（x）=
2x+2-x
2
，下列四个结论
（1）f（2x）=2f（x）•g（x）；                       （2）g（2x）=2f（x）•g（x）；
（3）f（2x）=[f（x）]2+[g（x）]2；                    （4）g（2x）=[f（x）]2+[g（x）]2
中恒成立的个数有（　　）

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