Question

下列叙述
①对于函数f（x）=-x²+1，当x₁≠x₂时，都有

f(x1)+f(x2)

2

＜f（

x1+x2

2

）；
②设f（x）=

1+x2

1-x2

则f（2）+f（3）+…+f（2012）+f（

1

2

）+f（

1

3

）+…+f（

1

2012

）=0；
③定义域是R的函数y=f（x）在[a，b）上递增，且在[b，c]上也递增，则f（x）在[a，c]上递增；
④设满足3^x=5^y的点P为（x，y），则点P（x，y）满足xy≥0．
其中正确的所有番号是：

①②④

．

Answer 1

分析：①作出函数的图象，利用凸函数的定义进行判断．②证明f（x）+f（

1

x

）=0即可．③根据函数单调性的定义，举出反例即可．④根据指数函数的性质进行判断．

解答：解：①不妨设x₁＜x₂时，作出对应的函数图象（图1），由图象可知，

f(x1)+f(x2)

2

＜f（

x1+x2

2

），（满足

f(x1)+f(x2)

2

＜f（

x1+x2

2

的函数成为凸函数），∴①正确．
②∵f（x）=

1+x2

1-x2

，∴f（x）+f（

1

x

）=

1+x2

1-x2

+

1+( 1 x )2

1-( 1 x )2

=

1+x2

1-x2

+

1+x2

x2-1

=

1+x2

1-x2

-

1+x2

1-x2

=0，
∴f（2）+f（3）+…+f（2012）+f（

1

2

）+f（

1

3

）+…+f（

1

2012

）=0，∴②正确．
③函数f（x）=

x+1，0≤x＜1 x，1≤x≤2

，满足在[0，1），和[1，2]上分别单调递增，但f（x）在[0，2]上不是单调函数（图2），
∴③错误．
④若x=0，则3^x=5^y=1，∴此时y=0，∴xy=0，满足xy≥0，
若x＞0，则3^x=5^y＞1，∴此时y＞0，∴xy＞0，满足xy≥0，
若x＜0，则3^x=5^y＜1，∴此时y＜0，∴xy＞0，满足xy≥0，
综上恒有xy≥0，成立，∴④正确．
故答案为：①②④．

点评：本题主要考查函数的图象和性质的应用，利用数形结合是解决函数问题中经常用的方法，考查函数性质的综合应用．