Question

已知A,B分别是椭圆C₁:+=1的左、右顶点,P是椭圆上异于A,B的任意一点,Q是双曲线C₂:-=1上异于A,B的任意一点,a>b>0.
(1)若P（,）,Q（,1）,求椭圆C₁的方程;
(2)记直线AP,BP,AQ,BQ的斜率分别是k₁,k₂,k₃,k₄,求证:k₁·k₂+k₃·k₄为定值.

Answer 1

（1）+=1  （2）见解析

(1)解:由解得
∴椭圆C₁的方程为+=1.
(2)证明:由题意知A(-a,0),B(a,0),
设P(x₁,y₁),(x₁≠±a)则+=1,
∴=b²（1-）=(a²-).
设Q(x₂,y₂),(x₂≠±a),则-=1,
∴=b²（-1）=(-a²).
∴k₁=,k₂=,k₃=,k₃=.
∴k₁·k₂+k₃·k₄=+
=+
=0.
即k₁k₂+k₃k₄为定值,定值是0.