Question

16．已知函数f（x）=2cos²ωx+2$\sqrt{3}$sinωxcosωx-1，且f（x）的周期为2．
（Ⅰ）当$x∈[{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}]$时，求f（x）的最值；
（Ⅱ）若$f（\frac{α}{2π}）=\frac{1}{4}$，求$cos（\frac{2π}{3}-α）$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$），由T=2，利用周期公式可求ω，由$-\frac{1}{2}≤x≤\frac{1}{2}$，可得范围$-\frac{π}{3}≤πx+\frac{π}{6}≤\frac{2}{3}π$，利用正弦函数的图象和性质可得解f（x）的最值；
（Ⅱ）由题意可得$2sin（π•\frac{α}{2π}+\frac{π}{6}）=2sin（\frac{α}{2}+\frac{π}{6}）=\frac{1}{4}$，解得$sin（\frac{α}{2}+\frac{π}{6}）=\frac{1}{8}$，利用诱导公式可求cos（$\frac{π}{3}-\frac{α}{2}$）的值，利用二倍角的余弦函数公式即可得解$cos（\frac{2π}{3}-α）$的值．

解答 （本题满分为13分）
解：（Ⅰ）∵$f（x）=cos2ωx+\sqrt{3}sin2ωx$=$2sin（2ωx+\frac{π}{6}）$，…（1分）
∵T=2，∴$ω=\frac{π}{2}$，…（2分）
∴$f（x）=2sin（πx+\frac{π}{6}）$，…（3分）
∵$-\frac{1}{2}≤x≤\frac{1}{2}$，
∴$-\frac{π}{3}≤πx+\frac{π}{6}≤\frac{2}{3}π$，
∴$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤sin（πx+\frac{π}{6}）≤1$，…（4分）
∴$-\sqrt{3}≤2sin（πx+\frac{π}{6}）≤2$，…（5分）
当$x=-\frac{1}{2}$时，f（x）有最小值$-\sqrt{3}$，当$x=\frac{1}{3}$时，f（x）有最大值2．…（6分）
（Ⅱ）由$f（\frac{α}{2π}）=\frac{1}{4}$，
所以$2sin（π•\frac{α}{2π}+\frac{π}{6}）=2sin（\frac{α}{2}+\frac{π}{6}）=\frac{1}{4}$，
所以$sin（\frac{α}{2}+\frac{π}{6}）=\frac{1}{8}$，…（8分）
而$cos（\frac{π}{3}-\frac{α}{2}）=cos[{\frac{π}{2}-（\frac{π}{6}+\frac{α}{2}）}]=sin（\frac{π}{6}+\frac{α}{2}）=\frac{1}{8}$，…（10分）
所以$cos（\frac{2π}{3}-α）=cos[{2（\frac{π}{3}-\frac{α}{2}）}]=2{cos^2}（\frac{π}{3}-\frac{α}{2}）-1$，…（12分）
即$cos（\frac{2π}{3}-α）=2{sin^2}（\frac{α}{2}+\frac{π}{6}）-1=-\frac{31}{32}$．…（13分）

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的周期公式，正弦函数的图象和性质，诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．