题目内容

设A、B分别为椭圆=1(a,b＞0)的左,右顶点,椭圆长半轴的长等于焦距,且x=4为它的右准线.

(1)求椭圆的方程;

(2)设P为右准线上不同于点(4,0)的任意一点,若直线AP,BP分别与椭圆相交于异于A,B的点M,N,证明点B在以MN为直径的圆内.

解：(1)依题意得a=2c,=4,

解得a=2,c=1.从而b=.

故椭圆的方程为=1.

(2)由(1)得A(-2,0),B(2,0)，

设M(x0,y0)，

∵M点在椭圆上,

∴y0=(4-x02).①

又点M异于顶点A、B,∴-2＜x0＜2.

由P,A,M三点共线可得P(4,).

从而=(x0-2,y0),=(2,).

∴ =2x0-4+=(x02-4+3y02).②

将①代入②，化简得=(2-x0).∵2-x0＞0,∴＞0,

则∠MBP为锐角,从而∠MBN为钝角,故点B在以MN为直径的圆内.


练习册系列答案
相关题目
设A，B分别为椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a，b＞0)的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且x=4为它的右准线．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设P为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线AP，BP分别与椭圆相交于异于A，B的点M、N，证明点B在以MN为直径的圆内．
（此题不要求在答题卡上画图）
设A，B分别为椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a＞b＞0)的左、右顶点，椭圆的长轴长为4，且点(1，
3
2
)在该椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设P为直线x=4上不同于点（4，0）的任意一点，若直线AP与椭圆相交于异于A的点M，证明：△MBP为钝角三角形．
设A，B分别为椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且直线x=4是它的右准线．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设P为椭圆右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线BP于椭圆相交于两点B，N，求证：∠NAP为锐角．
（2009•孝感模拟）设A，B分别为椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且x=为它的右准线．
（1）求椭圆的方程；
（2）设P为椭圆上不同于A，的一个动点，直线PA，P与椭圆右准线相交于M，两点，证明：MN为直径的圆必过椭圆外的一个定点．
设A，B分别为椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右顶点，C，D分别为椭圆上、下顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且四边形ACBD 的面积为4
3
．
（1）求椭圆的方程；
（2）设Q为椭圆上异于A、B的点，求证：直线QA与直线QB的斜率之积为定值；
（3）设P为直线x=
a2
c
 ．(a2=b2+c2)上不同于点（
a2
c
，0）的任意一点，若直线AP，BP分别与椭圆相交于异于A，B的点M、N，证明：点B在以MN为直径的圆内．

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