Question

9．函数f（x）=cos²（x-φ）-sin²（x-φ），其中φ∈（0，$\frac{π}{2}}$），已知f（x）图象的一个对称中心为点（$\frac{π}{3}$，0）．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a²+b²-c²=ab，且f（$\frac{A}{2}$+$\frac{π}{12}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求sinB．

Answer 1

分析 （1 ）先根据二倍角公式化简，再根据f（x）图象的一个对称中心为点，即可求出答案，
（2）先根据余弦定理求出C的值，再求出A，根据两角和的正弦公式即可求出．

解答 解：f（x）=cos²（x-φ）-sin²（x-φ）=cos（2x-2φ）
（1）由题知：2×$\frac{π}{3}$-2φ=$\frac{π}{2}$+kπ，解得  $2φ=\frac{π}{6}-kπ$
又$φ∈（{0，\frac{π}{2}}）$，
故$2φ=\frac{π}{6}$即$φ=\frac{π}{12}$；
（2）由a²+b²-c²=ab得$cosc=\frac{1}{2}$，
解得$c=\frac{π}{3}$，
又$（{\frac{A}{2}+\frac{π}{12}}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
故$cos（{A+\frac{π}{6}-\frac{π}{6}}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
解得$A=\frac{π}{4}$，
故$B=π-A-C=π-（{\frac{π}{3}+\frac{π}{4}}）$，
$sinB=sin（{\frac{π}{3}+\frac{π}{4}}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}-\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{4}$．

点评 本题考查了三角函数的化简和以及三角函数的图象和性质，属于中档题．