Question

16．已知抛物线y²=4x，作斜率为1的直线l交抛物线于A，B两点，交x轴于点M，弦AB的中点为P
（1）若M（2，0），求以线段AB为直径的圆的方程；
（2）设M（m，0），若点P满足$\frac{1}{{|{AM}|}}+\frac{1}{{|{BM}|}}=\frac{1}{{|{PM}|}}$，求m的值．

Answer 1

分析 （1）求出直线l的方程，利用直线与抛物线联立方程组，利用韦达定理以及弦长公式求出AB的距离，然后求解圆的方程．
（2）求出直线方程，利用直线与抛物线联立方程组，通过$\frac{1}{|AM|}+\frac{1}{|BM|}=\frac{1}{|PM|}$，转化为：$\frac{1}{|{y}_{1}|}+\frac{1}{|{y}_{2}|}=\frac{1}{|{y}_{P}|}$得到m，即可．

解答 解：（1）直线方程为：y=x-2，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得$\left\{\begin{array}{l}y=x-2\\{y^2}=4x\end{array}\right.⇒{y^2}-4y-8=0⇒{y_1}+{y_2}=4$，
所以中点为$（4，2），|{AB}|=\sqrt{2}•\sqrt{16+32}=4\sqrt{6}$
所以圆的方程：（x-4）²+（y-2）²=24．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线方程为：y=x-m，
$\left\{\begin{array}{l}y=x-m\\{y^2}=4x\end{array}\right.⇒{y^2}-4y-4m=0⇒\left\{\begin{array}{l}{y_1}{y_2}=-4m\\△=16+16m＞0⇒m＞-1\\{y_1}+{y_2}=4\end{array}\right.$，
$\frac{1}{|AM|}+\frac{1}{|BM|}=\frac{1}{|PM|}$，可得$\frac{1}{|{y}_{1}|}+\frac{1}{|{y}_{2}|}=\frac{1}{|{y}_{P}|}$，
所以$\frac{1}{{|{y_1}|}}+\frac{1}{{|{y_2}|}}=\frac{1}{{|{y_P}|}}=\frac{{|{{y_1}-{y_2}}|}}{{|{{y_1}{y_2}}|}}=\frac{{\sqrt{16+16m}}}{{|{4m}|}}=\frac{1}{2}$，
解得：$m=2±2\sqrt{2}$，

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，圆的方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．