Question

8．在平面直角坐标系xOy中，圆x²+y²=16的切线与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，则△AOB面积的最小值为16．

Answer 1

分析 用截距式设出切线方程，由圆心到直线的距离等于半径以及基本不等式可得ab=4$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$（a²+b²），令t=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，可得t的最小值为8，进而得到答案．

解答 解：设切线方程为bx+ay-ab=0（a＞0，b＞0），
由圆心到直线的距离等于半径得$\frac{|ab|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=4，
所以ab=4$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$（a²+b²），令t=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
则有t²-8t≥0，t≥8，故t的最小值为8．
∴t=|AB|的最小值为8，
∴△AOB面积的最小值为$\frac{1}{2}×4×8$=16．
故答案为：16．

点评 本题考查点到直线的距离公式和基本不等式的应用，体现了换元的思想（在换元时应该注意等价换元）．