Question

如图所示，在底面是菱形的四棱锥P―ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=，PB=PD=．点E在PD上，且PE：ED=2：1．

(1)求证：PA⊥平面ABCD；

(2)求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小；

(3)在棱PC上是否存在一点F，使BF//平面AEC，并证明你的结论．

Answer 1

解：(1)∵底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴AB=AD=AC=．

在△PAB中，由PA²+AB²=2²=PB²，知PA⊥AB．同理PA⊥A D．

    ∴PA⊥平面ABCD．

(2)如图1)所示．作EG∥PA交AD于G．由PA⊥平面ABCD，

知EG⊥平面ABCD．作GH⊥AC于点H，

连接EH，则EH⊥AC，∴∠EHG为二面角的平面角．

EG=,AG=，GH=AGsin60°=．

从而，即=30°．

(3)如图2）所示，当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC．

证明如下：取PE的中点M．连接FM，则FM//CE．

由EM=PE=ED，知E是MD的中点．

    连接BM、BD，设BDAC=O，则O为BD的中点，∴BM//OE．

∴平面BFM//平面AEC．又BF平面BFM，

∴BF∥平面AEC．