Question

如图所示，在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，∠DAB=90°，面PAC⊥平面ABCD，PA=PC=AB=BC=

1

2

AD，M是PD的中点．
（1）求证：MC∥平面PAB；
（2）求CM与平面PBC所成角的正弦值；
（3）已知点Q是棱PD上的一点，若二面角Q-AC-D为45°，求

PQ

QD

．

Answer 1

分析：过点A作底面ABCD的垂线，由∠DAB=90°，以A为原点建立空间直角坐标系，设PA=2，则B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，P(1，1，

2

)．
（1）由M为PD中点，知M(

1

2

，

5

2

，

2

2

)，所以

CM

=(-

3

2

，

1

2

，

2

2

)，

AB

=(2，0，0)，

AP

=(1，1，

2

)，设

CM

=x

AB

+y

AP

，得到

CM

=-

AB

+

1

2

AP

，由此能够证明CM∥平面PAB．
（2）

BC

=(0，2，0)，

BP

=(-1，1，

2

)，设平面PBC的法向量为

n

=(x，y，z)，由

2y=0 -x+y+z 2 =0

，得

n

=(

2

，0，1)，由此能求出CM与平面PBC所成角的正弦值．
（3）设

PQ

PD

=λ，λ∈（0，1），则

AQ

=

AP

+λ

PQ

=(1-λ，1+3λ，

2

(1-λ))

AC

=(2，2，0)，设平面QAC的法向量为

m

=(x′，y′，z′)，由

2x′+2y′=0 (1-λ)x′+(1+2λ)y′+z′ 2 (1-λ)=0

，得

m

=(1，-1，

2 2 λ

1-λ

)，
平面ABCD的法向量

k

=(0，0，1)，由二面角Q-AC-D为45°，能求出

PQ

QD

=

1

2

．

解答：解：过点A作底面ABCD的垂线，
又∵∠DAB=90°
∴可以A为原点建立空间直角坐标系，如图所示
取AC中点H，
∵PA=PB，∴PH⊥AC，
∵面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC
∴PH⊥平面ABCD
不妨设PA=2，则由已知条件可得：B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，P(1，1，

2

)．
（1）证明：∵M为PD中点，
∴M(

1

2

，

5

2

，

2

2

)，
∴

CM

=(-

3

2

，

1

2

，

2

2

)，

AB

=(2，0，0)，

AP

=(1，1，

2

)，
设

CM

=x

AB

+y

AP

，
则

- 3 2 =2x+y 1 2 =y 2 2 =y 2

，∴

x=-1 y= 1 2

，
∴

CM

=-

AB

+

1

2

AP

，
∴

CM

∥平面PAB，
∵CM?平面PAB，
∴CM∥平面PAB．
（2）

BC

=(0，2，0)，

BP

=(-1，1，

2

)，
设平面PBC的法向量为

n

=(x，y，z)，
由

BC

•

n

=0，

BP

•

n

=0可得

2y=0 -x+y+z 2 =0

，
可得一个法向量

n

=(

2

，0，1)．
设CM与平面PBC所成角为θ，
则sinθ=|cos＜

CM

，

n

＞|=

CM • n

| CM || n |

=

2

3

．
（3）设

PQ

PD

=λ，λ∈（0，1），
则

AQ

=

AP

+λ

PQ

=(1-λ，1+3λ，

2

(1-λ))

AC

=(2，2，0)，
设平面QAC的法向量为

m

=(x′，y′，z′)，
由

AC

•

m

=0，

AQ

•

m

=0得

2x′+2y′=0 (1-λ)x′+(1+2λ)y′+z′ 2 (1-λ)=0

，
可得一个法向量

m

=(1，-1，

2 2 λ

1-λ

)，
平面ABCD的法向量

k

=(0，0，1)，
由二面角Q-AC-D为45°可得

2

2

=|cos＜

m

，

k

＞|，
即

8λ2 (1-λ)2

2+ 8λ2 (1-λ)2

=

1

2

，
解得λ=

1

3

，或λ=-1（舍）．
所以

PQ

PD

=

1

3

，
所以

PQ

QD

=

1

2

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，直线与平南所成角的正弦值的求法和二面角的应用，考查考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，是高考的重点．解题时要认真审题，注意向量法的灵活运用．