Question

已知函数若存在函数使得恒成立，则称是的一个“下界函数”.
（I） 如果函数为实数为的一个“下界函数”，求的取值范围；
（Ⅱ）设函数 试问函数是否存在零点，若存在，求出零点个数；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（I） （Ⅱ）函数不存在零点.

试题分析：（I）解法一：由 得          1分
记则                   2分
当时， 所以在上是减函数，
当时， 所以在上是增函数，     3分
因此 即                 5分
解法二：由 得 
设则                1分
（1）若由知
在上是增函数，在上是减函数，          2分
因为恒成立，所以解得      3分
（2）若当且时，
此与恒成立矛盾，故舍去；               4分
综上得                            5分
（Ⅱ）解法一：函数
由（I）知即                6分
                 7分
设函数
（1）当时，
在上是减函数，在上是增函数，
故
因为 所以 即            8分
（2）当时，         9分
综上知 所以函数不存在零点.              10分
解法二：前同解法一，      7分
记 则
所以在上是减函数，在上是增函数，
因此                    9分
故 所以函数不存在零点.              10分
解法三：前同解法一， 因为故         7分
设函数
因此即                    9分
故 所以函数不存在零点.                10分
解法四：前同解法一，因为故          7分
从原点作曲线的切线设切点为，
那么把点代入得所以
所以（当且仅当时取等号），即         9分
故 所以函数不存在零点.               10分
点评：中档题，本题属于导数应用中的基本问题，通过研究函数的单调性，明确了极值情况。涉及比较大小问题，通过构造函数，转化成了研究函数的单调性及最值。涉及函数的零点问题，研究了函数的单调性及在区间端点的函数值的符号。