Question

【题目】如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，且，，平面平面．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）若，二面角为，求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）取的中点，可得，由平面平面得平面，所以，从而得平面，可得、为平行四边形，所以，所以平面，再得到平面平面；

（Ⅱ）以为原点，建立空间直角坐标系，设，求出平面和平面的法向量，再利用向量的夹角公式，得到关于的方程，求出的值，从而得到的值.

（Ⅰ）取的中点，连接，，

∵，∴

∵是正方形，∴，

又平面平面，平面平面，平面，

∴平面

又∵平面，∴

又平面，，

∴平面

∵，且，

∴，

∴四边形为平行四边形，

∴，

∴四边形为平行四边形，∴

∴平面，

又平面，∴平面平面

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，以为原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，

设，，

∵，∴，，

则，，，

，

易知平面的一个法向量为

设为平面的法向量，由得，

令，得

∴，解得，

∴