Question

6．求以椭圆$\frac{{y}^{2}}{9}$+$\frac{{x}^{2}}{5}$=1的焦点为焦点，且经过点M（2，$\sqrt{6}$）的椭圆的标准方程．

Answer 1

分析 求出椭圆$\frac{{y}^{2}}{9}$+$\frac{{x}^{2}}{5}$=1的焦点坐标，得出所求椭圆的焦距，设出该椭圆的标准方程，利用椭圆过点M，求出它的标准方程来．

解答 解：∵椭圆$\frac{{y}^{2}}{9}$+$\frac{{x}^{2}}{5}$=1的焦点在y轴上，且焦点坐标为（0，2），（0，-2）；
∴设所求椭圆的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}+4}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
且椭圆经过点M（2，$\sqrt{6}$），
∴$\frac{6}{{b}^{2}+4}$+$\frac{4}{{b}^{2}}$=1，
化简得b⁴-6b²-16=0，
解得b²=8或b²=-2（舍去），
∴所求椭圆的标准方程是$\frac{{y}^{2}}{12}$+$\frac{{x}^{2}}{8}$=1．

点评 本题考查了椭圆的定义与标准方程的应用问题，也考查了解分式方程的应用问题，是基础题目．