Question

已知数列{a_n}满足a1=1，an+1=2an+1(n∈N+)
（1）求证数列{a_n+1}是等比数列；
（2）若数列{b_n}满足4b1-1．42b2-1．43b3-1．4 nbn-1=(an+1)n求数列{{b_n}的通项公式；
（3）若cn=

2n

anan+1

，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由数列的递推公式求数列的通项公式，根据等比数列的定义，即可证明数列{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列；
（2）由条件可得2（b₁+2b₂+…+nb_n）=n²+2n，再写一式，两式相减，即可得结论；
（3）根据（1）中证明的结论，求出数列{a_n}的通项公式，从而求得数列{c_n}的通项公式，再求出其前n项和．

解答：（1）证明：∵a_n+1=2a_n+1
∴a_n+1+1=2（a_n+1）
∵a₁=1．∴a₁+1=1+1=2
∴数列{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴an=2n-1；
（2）解：∵数列{b_n}满足4b1-1•42b2-1•43b3-1…4 nbn-1=(an+1)n
∴4b1+2b2+…+nbn-n=2n2
∴2（b₁+2b₂+…+nb_n）=n²+2n①
∴2[b₁+2b₂+…+（n-1）b_n]=（n-1）²+2（n-1）（n≥2）②
①-②，可得2nb_n=2n+1
∴bn=1+

1

2n

(n≥2)，n=1也满足
∴数列{{b_n}的通项公式为bn=1+

1

2n

；
（3）解：由（1）知a_n=2ⁿ-1，
故cn=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

∴S_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

7

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1-1

）=1-

1

2n+1-1

．

点评：由数列的递推公式，通过构造新的等比数列求数列的通项公式，是常考知识点，特别注意新数列的首项，裂项求和是常考数列求和的方法，属于中档题．