Question

【题目】已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作一条直线与其两条渐近线交于两点，若为等腰直角三角形，记双曲线的离心率为，则______________.

Answer 1

【答案】2或

【解析】

根据等腰三角形直角顶点的不同，分三种情况讨论.先求得对应渐近线的倾斜角，可得渐近线的斜率，进而得的等量关系，即可求得双曲线离心率的平方值.

过作一条直线与其两条渐近线交于两点，若为等腰直角三角形，有以下三种情况：

①，当过的直线斜率不存在时，如下图所示：

根据双曲线的对称性可知，若为等腰直角三角形，

则.

所以其中一条渐近线的倾斜角为，即，

则，由双曲线性质可得，

所以；

②，当过的直线与渐近线的两支相交情况如下图所示时：

若为等腰直角三角形，

则，

所以此时其中一条渐近线的倾斜角为，由半角公式可得，

所以，

即，

所以由，

所以.

③当过的直线与渐近线的两支相交情况如下图所示时：

若为等腰直角三角形，

则，

所以此时其中一条渐近线的倾斜角为，由半角公式可得，

所以，

所以由，

所以，

综上可知，双曲线离心率的平方为2或，

故答案为：2或.