Question

【题目】如图，在三棱柱中，，侧面是边长为2的正方形，点、分别是线段，的中点，且.

（1）证明：平面平面；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）取中点，连接，由正方形性质及条件，可证明平面，从而可得，进而证明平面，即可由面面垂直的判定定理证明平面平面；

（2）结合（1）及线面垂直关系，可得.以为坐标原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面的法向量，即可由线面夹角的向量求法求得直线与平面所成角的正弦值.

（1）证明：取中点，连接，如下图所示：

三棱柱中，， 为中点，

则，

是为正方形，点、分别是线段，的中点，为中点，

所以，

又因为，且，

所以平面，

又因为平面，

所以，

且，与相交，则平面，

又因为平面，

所以平面平面.

（2）因为，平面平面，平面平面.

所以平面，

则.

又因为，，

所以平面，则.

所以.

又平面，，

所以平面，

从而.

以为坐标原点，分别为轴正方向，建立如下图所示的空间直角坐标系：

则，.

所以.

设平面的法向量为.

则，即，令，解得，

则，

设直线与平面所成的角为，

由直线与平面夹角的求法可得.