题目内容
【题目】如图，已知平面
平面
，B为线段
的中点，
，四边形
为正方形，平面
平面
，
，
，M为棱
的中点.
（1）若N为线段
上的点，且直线
平面，试确定点N的位置；
（2）求平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值.
【答案】（1）N为
的中点；（2）
.
【解析】
（1）根据线面平行的性质，得到线线平行，在同一个平面中，根据相似三角形，即可得到点
的位置；
（2）以
为坐标原点，以
为
轴建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，根据向量夹角的计算公式，即可求得结果.
（1）连接
，∵直线
平面
，
平面
，
平面
平面
，
又M为
的中点，
为
的中位线，
∴N为的中点；
（2）设
，则
，
，
又∵B为
的中点，
.
，
又平面
平面
，平面
平面
∴四边形
为平行四边形.
又
，∴四边形为菱形.
又
，
，
，
，
，
，平面
平面
平面
，
，
，，
两两互相垂直
∴以A为坐标原点，
分别以，，
所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系
如下图所示：
依题意，得
，
，
，
设平面
的一个法向量
则有
且
得：
且
令
，得
，
故
又平面
即为平面
平面的一个法向量
，
∴所求锐二面角的余弦值为：
.
即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为
.
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