Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面，，，，为上一点，且.

（1）求证：平面；

（2）若，，，求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）.

【解析】

试题分析：（1）法一：过作交于点，连接，由，推出，结合与，即可推出四边形为平行四边形，即可证明结论；法二：过点作于点，为垂足，连接，由题意，，则，即可推出四边形为平行四边形，再由平面，可推出，即可得证平面平面，从而得证结论；（2）过作的垂线，垂足为，结合平面，可推出平面，由平面，可得到平面的距离等于到平面的距离，即，再根据，，即可求出三棱锥的体积.

试题解析：（1）法一：过作交于点，连接.

∵

∴.

又∵，且，

∴，∴四边形为平行四边形，

∴.

又∵平面，平面，

∴平面.

法二：过点作于点，为垂足，连接.

由题意，，则，

又∵，

∴，

∴四边形为平行四边形

∴.

∵平面，平面

∴.

又

∴.

又∵平面，平面；

∵平面，平面，；

∴平面平面.

∵平面

∴平面.

（2）过作的垂线，垂足为.

∵平面，平面

∴.

又∵平面，平面，；

∴平面

由（1）知，平面，

所以到平面的距离等于到平面的距离，即.

在中，，

∴.

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