Question

1．液压千斤顶是利用帕斯卡发现的“密闭容器内的液体能够把施加于密闭液体所受到的压强大小不变的向各个方向传递”的原理制成的．图为一小型千斤顶的结构示意图．已知大活塞A的直径为D₁，小活塞B的直径为D₂，手柄的长度OC=L，小活塞与手柄的连接点D到转轴O的距离OD=L₂．现用此千斤顶使质量为m的重物升高了h．
（1）若此千斤顶的效率为η，在这一过程中人做的功为多少？
（2）若此千斤顶的效率为100%，当重物上升时，人对手柄的作用力F至少要多大？

Answer 1

分析 （1）利用W=Gh=mgh求出将重物托起h需要做的功，设人对手柄做的功为W₂，则千斤顶的效率为η=$\frac{{W}_{1}}{{W}_{2}}$，
据此求总功（人做的功）；
（2）设大活塞的面积为S₁，小活塞的面积为S₂，利用帕斯卡原理求作用在小活塞上的压力；动力和阻力都与杠杆垂直时，手对杠杆的压力最小．利用杠杆平衡条件可求人对手柄的作用力．

解答 解：
（1）将重物托起h需要做的有用功W₁=mgh，
设人对手柄做的功为W₂，则千斤顶的效率为η=$\frac{{W}_{1}}{{W}_{2}}$，
所以人做的功：W₂=$\frac{mgh}{η}$；
（2）设大活塞的面积为S₁，小活塞的面积为S₂，作用在小活塞上的压力为F₁，
当千斤顶的效率为100%时，
 $\frac{mg}{{S}_{1}}$=$\frac{{F}_{1}}{{S}_{2}}$，
而$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{π（\frac{{D}_{1}}{2}）^{2}}{π（\frac{{D}_{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{（{D}_{1}）^{2}}{（{D}_{2}）^{2}}$，
所以作用在小活塞上的压力：F₁=$\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}$mg=$\frac{{D}_{2}^{2}}{{D}_{1}^{2}}$mg，
F₁和F都与杠杆垂直时，手对杠杆的压力最小．
根据杠杆平衡条件有：F₁×OD=F×OC，
即F₁L₂=FL，
解得：
F=$\frac{{F}_{1}{L}_{2}}{L}$=$\frac{{D}_{2}^{2}}{{D}_{1}^{2}}$mg×$\frac{{L}_{2}}{L}$．
答：（1）若此千斤顶的效率为η，在这一过程中人做的功为$\frac{mgh}{η}$；
（2）若此千斤顶的效率为100%，当重物上升时，人对手柄的作用力F至少为$\frac{{D}_{2}^{2}}{{D}_{1}^{2}}$mg×$\frac{{L}_{2}}{L}$．

点评 本题考查了有用功、总功的计算、杠杆平衡条件和帕斯卡原理的应用，知识点多、综合性强，属于难题！