Question

12．村民准备在山坡上修建房屋，需要将沙石运送到山坡顶，某辆载重汽车，空载时的质量为m；当汽车装满沙石后，沿ABC路线行驶将沙石运至高为h的山坡顶，如图1，汽车在t=0时经过A处，t=t₁时经过B处，t=t₂时经过C处，在此过程中汽车的牵引力F和运动速度v随时间的变化图象可简化为图2、3所示，已知斜坡的机械效率为η，请你通过分析，计算完成下列内容（不计空气阻力）

（1）汽车在AB段运动时牵引力的功率P=F₁v₁
（2）汽车所装沙石的质量；
（3）汽车沿斜坡BC段运动时所受的摩擦力．

Answer 1

分析 （1）由图2得出在AB段内的拉力，由图3得出运动速度，再利用P=$\frac{W}{t}$=$\frac{Fs}{t}$=Fv计算出功率．
（2）已知斜坡的机械效率为η，利用η=$\frac{Gh}{FL}$可求得汽车所装沙石的质量．
（2）汽车在BC段行驶时，牵引力做功等于克服重力做功加上克服阻力做功，据此求摩擦力f的表达式．

解答 解：（1）汽车在AB段运动时牵引力为F₁，在AB段的速度为v₁，
则汽车在AB段运动时牵引力的功率：
P=$\frac{W}{t}$=$\frac{{F}_{1}{s}_{1}}{{t}_{1}}$=F₁v₁，
（2）W_有用=Gh=m′gh，
W_总=FL=F₂×v₂×（t₂-t₁），
η=$\frac{Gh}{FL}$=$\frac{mgh}{{F}_{2}×{v}_{2}×（{t}_{2}-{t}_{1}）}$，
则m′=$\frac{η{F}_{2}{v}_{2}（{t}_{2}-{t}_{1}）}{gh}$；
（3）上坡时，η=$\frac{{W}_{有}}{{W}_{总}}$，则
W_额=（1-η）W_总，
FL=（1-η）W_总，
f×v₂（t₂-t₁）=（1-η）F₂v₂（t₂-t₁）
则f=F₂（1-η）．
故答案为：（1）F₁v₁；
（2）汽车所装沙石的质量为$\frac{η{F}_{2}{v}_{2}（{t}_{2}-{t}_{1}）}{gh}$；
（3）汽车沿斜坡BC段运动时所受的摩擦力为f=F₂（1-η）．

点评 本题综合题考查了力学中功、功率、机械效率的计算，能从题目提供的图中得出相关信息是本题的关键．