Question

18．如图所示，边长为0.1米、密度为2×10³千克/米³的实心正方体静止在水平面上，求：
（1）正方体的质量．
（2）正方体对水平面的压强．
（3）若正方体的边长为a，密度为p，现设想把该正方体截取一半，并将截取部分叠放在剩余部分上方的中央，使截取部分对剩余部分的压强与叠放后水平面受到的压强相等．
小华和小明两位同学分别用下表的方法进行截取，判断能否满足上述要求？若能，请求出叠放后水平面受到的压强（用字母表示）．

	截取方法	能否满足上述要求
小华	沿竖直方向截取一半	p=2ρga
小明	沿水平方向截取一半	p=ρga

小强同学把该正方体截取一半并将截取部分放在水平面上，使其对水平面的压强最小，求出最小压强（用字母表示）．

Answer 1

分析 （1）根据密度公式变形后可求出质量；
（2）根据压强的定义式P=$\frac{F}{S}$，代入数值可求压强；
（3）在比较压强的大小变化时，既要分析压力（此题中压力大小等于重力）的变化，又要考虑受力面积的变化，统筹考虑才能最终做出判断．

解答 解：（1）体积V=l³=（0.1m）³=0.001m³；
质量m=ρV=2×10³kg/m³×0.001m³=2kg；
（2）压力F=G=mg=2kg×10N/kg=20N；底面积S=l²=（0.1m）²=0.01m²；
压强P=$\frac{F}{s}$=$\frac{20N}{0.01{m}^{2}}$=2000Pa；
（3）①小华沿竖直方向截取一半，则重力和面积各减小一半；
叠放后水平面受到的压强：P₂=$\frac{G}{\frac{1}{2}S}$=$\frac{2G}{S}$=2×$\frac{ρ{a}^{3}g}{{a}^{2}}$=2ρag；
将截取部分按下图的方式叠放在剩余部分上方的中央时（即十字叠放），

截取部分与剩余部分的接触面积S′=$\frac{1}{2}$a×$\frac{1}{2}$a=$\frac{1}{4}$a²；
截取部分对剩余部分的压强为P₁=$\frac{\frac{1}{2}G}{S′}$=$\frac{\frac{1}{2}ρ{a}^{3}g}{\frac{1}{4}{a}^{2}}$=2ρag；
可见P₁=P₂；故能满足截取部分对剩余部分的压强与叠放后水平面受到的压强相等．
②小明沿水平方向截取一半，物体与地面的接触面积不变；
则截取部分对剩余部分的压强为P₁=$\frac{\frac{1}{2}G}{\frac{1}{2}S}$=$\frac{G}{S}$=$\frac{ρ{a}^{3}g}{{a}^{2}}$=ρag；
水平面受到的压强为P₂=$\frac{G}{S}$=$\frac{ρ{a}^{3}g}{{a}^{2}}$=ρag；可见P₁=P₂；故能满足截取部分对剩余部分的压强与叠放后水平面所受的压强相等；
③小强沿如图沿对角线切去一半后，

所截部分的重力减半即为$\frac{1}{2}$G，物块为正方体，受力面积是原来的$\sqrt{2}$倍，
所截部分对水平面的压强p=$\frac{\frac{1}{2}G}{\sqrt{2}S}$=$\frac{\sqrt{2}G}{4S}$=$\frac{\sqrt{2}ρ{a}^{3}g}{4{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$ρag．
答：（1）正方体的质量为2kg；
（2）正方体对水平面的压强为2000Pa；
（3）小华想沿竖直方向截取一半，能满足截取部分对剩余部分的压强与叠放后水平面受到的压强相等；
小明沿水平方向截取一半，能满足截取部分对剩余部分的压强与叠放后水平面受到的压强相等；
小强的做法截取后对地面的最小压强是p=$\frac{\sqrt{2}}{4}$ρag．

点评 熟练运用密度公式、压强公式是解答此题的基础；分析压强的变化时，要抓住压力和面积的变化情况．