Question

5．如图所示，甲、乙两个相同的轻质薄壁圆柱形容器（高为1米，底面积为5×10^-2米²）放置在水平地面上，且容器内盛有0.8米深的水和酒精．（酒精的密度为0.8×10³千克/米³）
（1）求甲容器中水的质量m．
（2）求酒精对容器乙底部的压强p_酒精．
（3）现将密度为ρ的实心物体A先后慢慢放入水和酒精中，发现两容器都有液体溢出，当物体A静止后，甲、乙容器对地面的压强增加量相同，且溢出的酒精的体积为10×10^-3米³．求物体A的密度．

Answer 1

分析 （1）求出容器内水的体积，利用m=ρV求水的质量；                                  
（2）知道酒精的深度，利用p=ρgh求酒精对容器乙底部的压强；    
（3）设溢出的水重为△G_水，溢出的酒精重为△G_酒精，根据△p_甲=△p_乙可得$\frac{{G}_{A}-△{G}_{水}}{{S}_{容器}}$=$\frac{{G}_{A}-△{G}_{酒精}}{{S}_{容器}}$，从而得出△G_水=△G_酒精，则溢出的水和酒精的体积$\frac{△{V}_{水}}{△{V}_{酒精}}$=$\frac{{ρ}_{酒精}}{{ρ}_{水}}$=$\frac{4}{5}$；
通过分析确定小球A只可能漂浮在水面上、浸没在酒精中；V_A=V_排酒精=V₀+△V_酒精，△V_水=$\frac{4}{5}$△V_酒精，而m_A=m_排水=ρ_水（V₀+△V_水），利用密度公式求A的密度．

解答 解：
（1）容器内水的体积：
V_水=S×h_水
=5×10^-2m²×0.8m=4×10^-2m³，
由ρ=$\frac{m}{V}$得水的质量：
m_水=ρ_水V_水=1.0×10³kg/m³×4×10^-2m³=40kg；                                  
（2）酒精对容器乙底部的压强：
p_酒=ρ_酒g h_酒
=0.8×10³kg/m³×9.8N/kg×0.8m=6272Pa；    
（3）设溢出的水重为△G_水，溢出的酒精重为△G_酒精，
因为△p_甲=△p_乙，即：
$\frac{{G}_{A}-△{G}_{水}}{{S}_{容器}}$=$\frac{{G}_{A}-△{G}_{酒精}}{{S}_{容器}}$，
所以△G_水=△G_酒精，
溢出的水和酒精的体积：
$\frac{△{V}_{水}}{△{V}_{酒精}}$=$\frac{{ρ}_{酒精}}{{ρ}_{水}}$=$\frac{0.8×1{0}^{3}kg/{m}^{3}}{1×1{0}^{3}kg/{m}^{3}}$=$\frac{4}{5}$，
假设小球A漂浮在酒精液面上（它也漂浮在水面上），F_浮大小都等于小球A的重力大小G_A，
设容器液面上方的空间体积为V₀，
则：ρ_酒精g（V₀+△V_酒精）=ρ_水g（V₀+△V_水）
所以$\frac{{ρ}_{酒精}}{{ρ}_{水}}$=$\frac{{V}_{0}+△{V}_{水}}{{V}_{0}+△{V}_{酒精}}$＞$\frac{△{V}_{水}}{△{V}_{酒精}}$，
所以本假设不成立；
假设小球都浸没在液体中，则：V_排水=V_排酒精
所以$\frac{△{V}_{水}}{△{V}_{酒精}}$=$\frac{{V}_{排水}-{V}_{0}}{{V}_{排酒精}-{V}_{0}}$=$\frac{1}{1}$，
所以本假设不成立．
所以小球A只可能漂浮在水面上、浸没在酒精中．
因此，V_A=V_排酒精=V₀+△V_酒精
=5×10^-2m²×0.2m+10×10^-3m³=2×10^-2m³
△V_水=$\frac{4}{5}$△V_酒精=$\frac{4}{5}$×10×10^-3m³=8×10^-3m³
m_A=m_排水=ρ_水（V₀+△V_水）
=1.0×10³kg/m³×（5×10^-2m²×0.2m+8×10^-3m³）
=18kg，
ρ_A=$\frac{{m}_{A}}{{V}_{A}}$=$\frac{18kg}{2×1{0}^{-2}{m}^{3}}$=0.9×10³kg/m³．
答：（1）甲容器中水的质量为40kg；
（2）酒精对容器乙底部的压强为6272Pa；
（3）物体A的密度为0.9×10³kg/m³．

点评 本题考查了密度公式、压强、液体压强公式的应用，难点在第（3）问，先讨论确定小球在水、酒精中的状态是关键．