题目内容
8．
有一直壁圆筒，其底面直径为D，另有一密度为0.6×103kg/m3的圆柱形木块，其高度为h0，底面直径为d，将木块放入直壁圆筒中（如图甲所示，下方系有细绳且压在木块下），向其内部倒水（ρ水，g为已知量）．
（1）当木块对圆筒底部的压力恰好为0时，注入水的质量m1是多少？
（2）当注入质量为m2的水时，水面恰好与木块上方相平（如图乙所示），请在图乙中画出木块的受力示意图．
（3）求图乙中水对底面的压强．
分析 （1）根据S=πr2求出木块和圆筒的底面积，当木块对圆筒底部的压力恰好为0时，木块漂浮，受到的浮力和自身的重力相等，根据阿基米德原理和G=mg=ρVg=ρShg求出容器内水的深度，根据V水=（S筒-S木）h水求出容器内注入水的体积，根据m=ρV求出注入水的质量；
（2）当注入质量为m2的水时，水面恰好与木块上方相平，木块受到竖直向上的浮力和竖直向下的重力、绳子的拉力，据此作出木块的受力示意图；
（3）根据V=$\frac{m}{ρ}$求出容器内水的体积，水的体积加上木块的体积然后与容器的底面积之比即为水的深度，根据p=ρgh求出水对底面的压强．
解答 解：（1）木块的横截面积S木=πr木2=π（$\frac{d}{2}$）2=$\frac{π{d}^{2}}{4}$，圆筒的底面积S筒=πr筒2=π（$\frac{D}{2}$）2=$\frac{π{D}^{2}}{4}$．
当木块对圆筒底部的压力恰好为0时，设水的深度为h水，
因木块漂浮，受到的浮力和自身的重力相等，
所以，由F浮=ρgV排=ρgS木h水和G=mg=ρVg=ρShg可得：
ρ水gS木h水=ρ木S木h0g，
解得：h水=$\frac{{ρ}_{木}}{{ρ}_{水}}$h0，
容器中注入水的体积：
V水=（S筒-S木）h水=（$\frac{π{D}^{2}}{4}$-$\frac{π{d}^{2}}{4}$）×$\frac{{ρ}_{木}}{{ρ}_{水}}$h0，
注入水的质量：
m1=ρ水V水=ρ水×（$\frac{π{D}^{2}}{4}$-$\frac{π{d}^{2}}{4}$）×$\frac{{ρ}_{木}}{{ρ}_{水}}$h0=ρ木h0×$\frac{π（{D}^{2}-{d}^{2}）}{4}$=0.6×103kg/m3×h0×$\frac{π（{D}^{2}-{d}^{2}）}{4}$=150π（D2-d2）h0；
（2）当注入质量为m2的水时，水面恰好与木块上方相平，木块受到竖直向上的浮力和竖直向下的重力、绳子的拉力，
则木块的受力示意图，如下图所示：
（3）容器内水的体积：
V水′=$\frac{{m}_{2}}{{ρ}_{水}}$，
容器内水的深度：
h水′=$\frac{{V}_{水}′+{V}_{木}}{{S}_{筒}}$=$\frac{{V}_{水}′+{S}_{木}{h}_{0}}{{S}_{筒}}$=$\frac{\frac{{m}_{2}}{{ρ}_{水}}+\frac{π{d}^{2}}{4}{h}_{0}}{\frac{π{D}^{2}}{4}}$=$\frac{4{m}_{2}+π{d}^{2}{h}_{0}{ρ}_{水}}{{ρ}_{水}π{D}^{2}}$，
水对底面的压强：
p=ρ水gh水′=ρ水g$\frac{4{m}_{2}+π{d}^{2}{h}_{0}{ρ}_{水}}{{ρ}_{水}π{D}^{2}}$=$\frac{（4{m}_{2}+1000π{d}^{2}{h}_{0}）g}{π{D}^{2}}$．
答：（1）当木块对圆筒底部的压力恰好为0时，注入水的质量是150π（D2-d2）h0；
（2）木块的受力示意图如上图所示；
（3）图乙中水对底面的压强为$\frac{（4{m}_{2}+1000π{d}^{2}{h}_{0}）g}{π{D}^{2}}$．
点评 本题考查了物体浮沉条件和密度公式、重力公式、液体压强公式的综合应用，要注意木块对圆筒底部的压力恰好为0时木块没有离开容器底部，正确的求出水面恰好与木块上方相平时水的深度是关键．
阅读快车系列答案
| A． | 液体的压强大小跟液体的质量大小有关 | |
| B． | 液体对容器侧壁有压强，这一特点跟液体的流动性有关 | |
| C． | 液体对容器底的压强大小跟容器底面积大小有关 | |
| D． | 液体的压强大小跟液体的体积大小有关 |
小明想在家中测量紫砂壶壶盖的密度，没有天平和量筒．只找来一把质地较硬的木质米尺、一个质量忽略不计的塑料小桶和一个杯口足够大的茶杯．如图所示．还用了水和几根足够长的细绳．请你用上述的全部器材设计方案，测出壶盖的密度．要求：
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| C． | 都不变 | D． | 电压示数不变，电流表示数变大 |