Question

15．如图是利用液压起重机提升重物的示意图，起重机工作过程中在几个支脚M的作用下使车轮离开水平地面，在某次提升重物A的过程中，可绕D点自由转动的吊臂BD始终保持水平方向，柱塞E始终与BD垂直且作用于吊臂的C点．已知起重机质量为7×10³kg，支脚对地面的作用总面积S=0.25m²，CD=2m，BD=8m，m_A=3×10³kg．忽略吊臂、滑轮、钢丝绳的质量，不计摩擦，g取10N/kg，$\sqrt{2}$=1.4，求：
（1）起重机提升重物A的过程中，起重机对地面的压强p；
（2）吊臂BD水平平衡时，起重机柱塞E对吊臂BD的支持力F；
（3）吊臂上升到B′D过程中，柱塞E做功W．

Answer 1

分析 （1）起重机提升重物时，对地面的压力等于自身的重力加上重物的重力，已知受力面积，根据压强定义式可求出对地面的压强；
（2）根据题中条件可知，B端受到的拉力等于重物的重力，由图示和题意可得两力臂的大小，再利用杠杆的平衡条件可求出柱塞E对吊臂BD的支持力F；
（3）吊臂从水平位置上升到B′D过程中，重物上升的高度等于B端上升的高度，由三角函数知识可求出这一高度；忽略吊臂、滑轮、钢丝绳的质量，不计摩擦，柱塞E做的功等于克服重物A的重力做的功，据此求解．

解答 解：（1）起重机的重力：G_机=m_机g=7×10³kg×10N/kg=7×10⁴N，
重物A的重力：G_A=m_Ag=3×10³kg×10N/kg=3×10⁴N，
起重机提升重物A的过程中，对地面的压力：F_压=G_总=7×10⁴N+3×10⁴N=1×10⁵N，
起重机对地面的压强：
p=$\frac{{F}_{压}}{S}$=$\frac{1×1{0}^{5}N}{0.25{m}^{2}}$=4×10⁵Pa；
（2）忽略吊臂、滑轮、钢丝绳的质量，不计摩擦，吊臂BD在水平位置平衡，
则吊臂B端受到的向下拉力为F_B=G_A=3×10⁴N，其力臂为BD=8m，
设起重机柱塞E对吊臂BD的支持力F，由图和题意可知，支持力的力臂为CD=2m，
根据杠杆平衡条件有F_B×BD=F×CD，
则柱塞E对吊臂BD的支持力：F=$\frac{{F}_{B}×BD}{CD}$=$\frac{3×1{0}^{4}N×8m}{2m}$=1.2×10⁵N；
（3）起重机提升重物时，吊臂的转动情况如图所示：

由数学知识可得，吊臂B端上升的高度：
h=BD×sin45°=8m×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=8m×$\frac{1.4}{2}$=5.6m，
吊臂从水平位置上升到B′D过程中，由于是通过液压杆支撑吊臂（绳子没有收缩），故重物上升的高度等于B端上升的高度，即重物上升高度h=5.6m；
由于忽略吊臂、滑轮、钢丝绳的质量，不计摩擦，
所以，柱塞E做的功等于克服重物A的重力做的功，
则柱塞E做的功：W=G_Ah=3×10⁴N×5.6m=1.68×10⁵J．
答：（1）起重机提升重物A的过程中，起重机对地面的压强p为4×10⁵Pa；
（2）吊臂BD水平平衡时，起重机柱塞E对吊臂BD的支持力F为1.2×10⁵N；
（3）吊臂上升到B′D过程中，柱塞E做功W为1.68×10⁵J．

点评 本题主要考查了重力、压强、杠杆平衡条件和功的计算，综合性较强，难度较大；难点是第3小题，根据题中条件明确柱塞E做的功等于克服重物A的重力做的功，这是解题的关键之一．