Question

13．如图所示电路总电压保持不变．断开开关S₃，分别只闭合S₁和S₂时，电阻R₁和R₂的电功率之比4：3，电阻R₃两端的电压之比为2：3；只闭合S₂是电阻R₃消耗的电功率为9W．求：
（1）电阻R₁和R₃之比；
（2）开关都闭合时，电路消耗的总功率？

Answer 1

分析 先画出三种情况的等效电路图；
（1）根据P=I²R结合图甲、图乙中电阻R₁和R₂的电功率之比和电阻R₃两端的电压之比，求出电阻R₁与电阻R₂的比值；进一步得出R₁和R₃之间的关系；
（2）根据P=I²R以及R₁、R₂、R₃的关系即可求出图丙中电路消耗的电功率．

解答 解：当只闭合开关S₁时，等效电路如图甲所示；
当只闭合开关S₂时，等效电路如图乙所示；
当开关S₁、S₂、S₃闭合时，等效电路如图丙所示．
（1）根据图甲、乙可得，P₁：P₂=（$\frac{U}{{R}_{1}+{R}_{3}}$）²R₁：（$\frac{U}{{R}_{2}+{R}_{3}}$）²R₂=（$\frac{{R}_{2}+{R}_{3}}{{R}_{1}+{R}_{3}}$）²×$\frac{{R}_{1}}{{R}_{2}}$=4：3----①
由U=IR可得，U₃：U₃′=$\frac{U}{{R}_{1}+{R}_{3}}$R₃：$\frac{U}{{R}_{2}+{R}_{3}}$R₃=（R₂+R₃）：（R₁+R₃）=2：3----②
将②代入①可得，R₁：R₂=3：1-----③
将③代入②可得，（$\frac{1}{3}$R₁+R₃）：（R₁+R₃）=2：3
化简可得，R₁：R₃=1：1；
（2）功率：P=I²R，P₃=9W
由图乙得，P₃=I₂²R₃=（$\frac{U}{{R}_{2}+{R}_{3}}$）²R₃=$\frac{{U}^{2}}{（\frac{4}{3}{R}_{1}）^{2}}$×R₁=$\frac{9}{16}$×$\frac{{U}^{2}}{{R}_{1}}$=9W，则：$\frac{{U}^{2}}{{R}_{1}}$=16W； 
当开关S₁、S₂、S₃闭合时，由丙图知电路消耗的功率为：
P=$\frac{{U}^{2}}{{R}_{1}}$+$\frac{{U}^{2}}{{R}_{2}}$=4×$\frac{{U}^{2}}{{R}_{1}}$=4×16W=64W．
答：（1）电阻R₁和R₃之比为1：1；
（2）开关都闭合时，电路消耗的总功率为64W．

点评 本题考查了串联电路的特点和并联电路的特点，以及欧姆定律、电功率的计算；画出等效电路图和判断电路的串并联是解决本题的关键．