Question

3．将底面半径为2R的圆柱形薄壁容器，放在水平桌面上，把高为h、密度为ρ_木（ρ_水＞ρ_木）、半径为R的圆柱形木块竖直放在容器中．
求（1）注水前，木块对容器底面的压强是多大？
（2）若木块恰好漂浮，至少注入多少质量的水？
（3）此时形容器底面所受压力是多大？

Answer 1

分析 （1）根据S=πR²求出木块的底面积，根据m=ρV求出木块的质量，注水前，木块对容器底面的压力和自身的重力相等，根据F=G=mg求出其大小，根据p=$\frac{F}{S}$求出木块对容器底面的压强；
（2）木块恰好漂浮时受到的浮力和自身的重力相等，此时木块恰好没离开容器底部，根据阿基米德原理求出排开水的体积，根据V=Sh求出水的深度，然后求出注入水的体积，利用m=ρV求出注入水的质量；
（3）根据G=mg求出水的重力，圆柱形容器底部受到的压力等于水和木块的重力之和，据此进行解答．

解答 解：（1）木块的底面积：
S_木=πR²，
由ρ=$\frac{m}{V}$可得，木块的质量：
m_木=ρ_木V_木=ρ_木S_木h=ρ_木πR²_木h，
注水前，木块对容器底面的压力：
F=G_木=m_木g=ρ_木πR²hg，
木块对容器底面的压强：
p=$\frac{F}{{S}_{木}}$=$\frac{{ρ}_{木}π{R}^{2}hg}{π{R}^{2}}$=ρ_木hg；
（2）木块恰好漂浮时受到的浮力和自身的重力相等，此时木块恰好没离开容器底部，
由F_浮=ρgV_排可得，排开水的体积：
V_排=$\frac{{F}_{浮}}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{{G}_{木}}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{{ρ}_{木}π{R}^{2}hg}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{{ρ}_{木}π{R}^{2}h}{{ρ}_{水}}$，
由V=Sh可得，水的深度：
h=$\frac{{V}_{排}}{{S}_{木}}$=$\frac{\frac{{ρ}_{木}π{R}^{2}h}{{ρ}_{水}}}{π{R}^{2}}$=$\frac{{ρ}_{木}h}{{ρ}_{水}}$，
则注入水的体积：
V_水=（S_容-S_木）h=[π（2R）²-πR²]×$\frac{{ρ}_{木}h}{{ρ}_{水}}$=$\frac{3π{R}^{2}{ρ}_{木}h}{{ρ}_{水}}$，
由ρ=$\frac{m}{V}$可得，注入水的质量：
m_水=ρ_水V_水=ρ_水×$\frac{3π{R}^{2}{ρ}_{木}h}{{ρ}_{水}}$=3πR²ρ_木h；
（3）注入水的重力：
G_水=m_水g=3πR²ρ_木hg，
圆柱形容器底部受到的压力：
F′=G_水+G_木=ρ_木πR²hg+3πR²ρ_木hg=（ρ_木+3ρ_木）πR²hg．
答：（1）注水前，木块对容器底面的压强是ρ_木hg；
（2）若木块恰好漂浮，至少注入3πR²ρ_木h的水；
（3）此时形容器底面所受压力是（ρ_木+3ρ_木）πR²hg．

点评 本题考查了压强公式、物体浮沉条件、阿基米德原理、密度公式和重力公式的应用，关键是知道水平面上物体的压力和自身的重力相等，要注意木块恰好漂浮时受到的浮力和自身的重力相等、此时木块恰好没离开容器底部．