Question

13．如图所示，底面积为0.02米²、高为0.15米的薄壁圆柱形容器甲，放置于水平地面上，内盛有0.1米深的水；另有高为0.4米的圆柱形木块乙，同样放置于水平地面上，底面积为0.01米²，密度为0.5ρ_水，求：
①水对容器底部的压强p_水；
②圆柱形木块乙的质量m_乙；
③若在乙上方沿水平方向切去厚为△h的木块，并将切去部分竖直放在容器甲内，此时水对容器底部的压强增加量为△p_水，容器对地面的压强增加量为△p_地，请求出△p_水与△p_地相等时的△h的取值范围．

Answer 1

分析 ①知道深度，利用p=ρgh求水的压强；
②知道圆柱形木块乙底面积和高度，求出木块乙体积，再利用m=ρV求木块乙的质量m_乙；
③由于ρ_乙＜ρ_水，则△h的木块竖直放在容器甲内静止后木块处于漂浮状态，由于容器甲是薄壁圆柱形容器，当水对容器底部的压强增加量为△p_水与容器对地面的压强增加量为△p_地是始终相等的；
当水溢出后木块仍漂浮时溢出水的重力与木块再增加的重力相等，故水溢出后水对容器底部的压强增加量为△p_水与容器对地面的压强增加量为△p_地也始终相等的；故当木块对甲容器底部刚刚接触，仍处于漂浮时△h最大，据此即可求出△h的最大值．

解答 解：①水对容器底部的压强：
p_水=ρ_水gh_水=1×10³kg/m³×10N/kg×0.1m=1000Pa；
②木块乙的体积V_乙=S_乙h_乙=0.01m²×0.4m=4×10^-5m³，
木块乙的密度ρ_乙=0.5ρ_水=0.5×1×10³kg/m³×=0.5×10³kg/m³，
由ρ=$\frac{m}{V}$得：
m_乙=ρ_乙V_乙=0.5×10³kg/m³×4×10^-5m³=0.02kg；
③由于ρ_乙=0.5×10³kg/m³＜ρ_水，则△h的木块竖直放在容器甲内静止后木块处于漂浮状态；
当水未溢出时，由于容器甲是薄壁圆柱形容器，则此时水对容器底部的压强增加量：
△p_水=$\frac{△G}{{S}_{甲}}$=$\frac{{{ρ}_{乙}S}_{乙}△h}{{S}_{甲}}$，
容器对地面的压强增加量：
△p_地=$\frac{△F}{{S}_{甲}}$=$\frac{△G}{{S}_{甲}}$=$\frac{{{ρ}_{乙}S}_{乙}△h}{{S}_{甲}}$，
所以，只要水未溢出时，水对容器底部的压强增加量为△p_水与容器对地面的压强增加量为△p_地是始终相等的；若水会溢出，当木块仍处于漂浮状态时，△G_排=△F_浮，△G_物=△F_浮；则△G_排=△G_物；
即水会溢出后，虽然水对容器底部的压力不再增加，△p_水不变；但木块对甲容器底部刚刚接触恰好处于漂浮时，再增加的木块重力与木块再溢出水的重力相等；所以，木块对甲容器底部刚刚接触，仍处于漂浮时△h最大；此时木块排开水的体积为V_排最大=S_乙h_甲，根据漂浮条件可得：F_浮=G_物，
即：ρ_水gV_排最大=ρ_乙g△h_最大S_乙，则：ρ_水gS_乙h_甲=$\frac{1}{2}$ρ_水g△h_最大S_乙，
所以，△h_最大=2h_甲=2×0.15m=0.3m．
则△h的取值范围是0～0.3m．
答：①水对容器底部的压强p_水=1000Pa；
②圆柱形木块乙的质量m_乙=0.02kg；
③△p_水与△p_地相等时的△h的取值范围是0～0.3m．

点评 本题为力学综合题，考查了学生对重力公式、密度公式、液体压强公式、压强定义式的掌握和运用，本题难点在判断得出只要水溢出后，木块对甲容器底部刚刚接触恰好处于漂浮时，水对容器底部的压强增加量为△p_水与容器对地面的压强增加量为△p_地是始终相等的，属于难题！