题目内容

12．如图甲所示是某船厂设计的打捞平台装置示意图．A是动滑轮，B是定滑轮，C是卷扬机，ODB为可绕O点自由转动的吊臂，D为千斤顶对吊臂的支撑点，OD：DB=1：4，卷扬机C拉动钢丝绳通过滑轮组AB竖直提升水中的物体，可以将实际打捞过程简化为如图乙所示的示意图．在一次打捞沉船的作业中，在沉船浸没水中匀速上升的过程中，打捞平台浸入水中的体积相对于动滑轮A未挂沉船时变化了0.9m3；在沉船全部露出水面并匀速上升的过程中，打捞平台浸入水中的体积相对于动滑轮A未挂沉船时变化了1.5m3．沉船浸没在水中和完全露出水面后卷扬机对钢丝绳的拉力分别为F1、F2，且F1与F2之比为5：8．钢丝绳的重、轴的摩擦及水对沉船的阻力均忽略不计，动滑轮的重力不能忽略．（水的密度取1.0×103kg/m3  g取10N/kg）求：
（1）沉船的重力；
（2）沉船完全露出水面匀速上升的过程中千斤顶对吊臂的支撑点D的作用力
（3）沉船完全露出水面匀速上升的过程中和沉船未露出水面匀速上升的过程中，滑轮组AB的机械效率之差．

分析 （1）在沉船全部露出水面匀速上升的过程中，打捞平台浸入水中的体积相对于动滑轮A未挂沉船时变化了1.5m3，根据F浮=ρgV排求出打捞平台增大的浮力，即为沉船的重力；
（2）在沉船浸没水中匀速上升的过程中，打捞平台浸入水中的体积相对于动滑轮A未挂物体时变化了0.9m3；根据F浮=ρgV排求出打捞平台增大的浮力，然后求出沉船受到的浮力；根据F=$\frac{1}{3}$（G+G动）求出动滑轮的重力，进而求出拉力F2，再根据杠杆平衡条件可求沉船完全露出水面匀速上升的过程中千斤顶对吊臂的支撑点D的作用力．
（3）根据η=$\frac{{W}_{有用}}{{W}_{总}}$=$\frac{Gh}{Fs}$=$\frac{Gh}{Fnh}$=$\frac{G}{nF}$分别计算沉船完全露出水面匀速上升的过程中和沉船未露出水面匀速上升的过程中，滑轮组AB的机械效率，然11
后相减即可．

解答 解：
（1）在沉船全部露出水面匀速上升的过程中，打捞平台浸入水中的体积相对于动滑轮A未挂沉船时变化了1.5m3，
则打捞平台增大的浮力：
F浮=ρgV排=1×103kg/m3×10N/kg×1.5m3=1.5×104N，
即沉船的重力为G=1.5×104N；
（2）在沉船浸没水中匀速上升的过程中，打捞平台浸入水中的体积相对于动滑轮A未挂物体时变化了0.9m3；
则打捞平台增大的浮力：
F浮1=ρgV排1=1×103kg/m3×10N/kg×0.9m3=9×103N；
所以沉船浸没水中受到的浮力：
F浮2=G-F浮1=1.5×104N-9×103N=6×103N；
根据受力分析可得，
沉船浸没在水中匀速上升的过程中F1=$\frac{1}{3}$[（G-F浮2）+G动]，
沉船全部露出水面匀速上升的过程中，F2=$\frac{1}{3}$（G+G动），
因为F1：F2=5：8，
解得：G动=1000N，
则F1=$\frac{1}{3}$[（G-F浮2）+G动]=$\frac{1}{3}$[（1.5×104N-6×103N）+1000N]=$\frac{1}{3}$×1×104N，
F2=$\frac{1}{3}$（G+G动）=$\frac{1}{3}$（1.5×104N+1000N）=$\frac{1}{3}$×1.6×104N，
如图，Rt△ODE△∽Rt△OBA，
因为OD：DB=1：4，则OD：OB=1：5，
所以，OE：OA=1：5，
根据杠杆的平衡条件可得，FD×OE=F2×OA，
则FD=$\frac{{F}_{2}×OA}{OE}$=$\frac{{F}_{2}×5OE}{OE}$=5F2=5×$\frac{1}{3}$×1.6×104N≈2.67×104N，
（3）由图可知：n=3，
因为η=$\frac{{W}_{有用}}{{W}_{总}}$=$\frac{Gh}{Fs}$=$\frac{Gh}{Fnh}$=$\frac{G}{nF}$，
所以，沉船未露出水面匀速上升的过程中，滑轮组AB的机械效率：
η1=$\frac{G-{F}_{浮2}}{{3F}_{1}}$=$\frac{1.5×1{0}^{4}N-6×1{0}^{3}N}{3×\frac{1}{3}×1×1{0}^{4}N}$=90%．
沉船全部露出水面后匀速上升过程中，滑轮组AB的机械效率：
η2=$\frac{G}{3{F}_{2}}$=$\frac{1.5×1{0}^{4}N}{3×\frac{1}{3}×1.6×1{0}^{4}N}$=93.75%，
则滑轮组AB的机械效率之差：η2-η1=93.75%-90%=3.75%．
答：（1）沉船的重力为15000N；  
（2）沉船完全露出水面匀速上升的过程中千斤顶对吊臂的支撑点D的作用力为2.67×104N；
（3）滑轮组AB的机械效率之差为3.75%．

点评 此题是简单机械、浮力、杠杆、机械效率综合计算题，同时涉及到数学上的相似三角形、解方程组等相关知识，关键是各种计算公式的灵活运用，难点是分析出船在水中的浮力变化和求解动滑轮的重力，不但计算过程繁杂，而且难度很大．

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